概率论,第二章 2.5.pptVIP

* * 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 §2.5、随机变量函数的分布 已知随机变量X的分布,现求其连续函数Y=g(X)的分 布。此时，Y也是随机变量。 方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件 求 随机因变量Y= g ( X )的密度函数 或分布律 问题 已知 r.v. X 的d.f. 或分布律. 例1 已知 X 的概率分布为 X pk -1 0 1 2 求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律 解 Y 1 pi -3 -1 1 3 一、离散型随机变量函数分布列的求法 Y 2 pi 1 0 1 4 Y 2 pi 0 1 4 * 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 【例2】设r.v.X的分布律为: 求X-1,X2-1的分布律. 【解】采用“同一表格法”. 0.4 0.1 0.3 0.2 pk 2 1 0 -1 X 3 0 -1 0 X2-1 1 0 -1 -2 X-1 2 1 0 -1 X 0.4 0.1 0.3 0.2 pk 互异 有等值 * 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 0.4 0.1 0.3 0.2 pk 1 0 -1 -2 X-1 故X-1分布律为: X2-1的分布律为: 0.4 0.3 0.3 pk 3 0 -1 X2-1 其中 ■ * 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 设离散型r.v.X的分布律为 则求函数Y=g(X)的分布律的步骤为： ① 求Y的所有可能取值 ② 计算Y取各可能值的概率： ◆如果Y各可能取值互异,即 则 ◆如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值 的概率为这些相等值对应的X取值的概率之和. * 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 二、连续型随机变量函数概率密度的求法 方法1 分布函数法(一般情形) 设连续型随机变量X的概率密度为 ,则求Y=g(X) 的概率密度 的步骤为： 其中积分区间是以y的函数为端点的区间。 ② 分布函数对y求导数即得概率密度： ,求导 时一般用到变限函数的导数公式. ① 求Y的分布函数： 例4 已知 X 的 d.f.为 为常数，且 a ? 0, 求 fY ( y ) 解 当a 0 时， 当a 0 时， 故 * 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 【例2】设r.v.X的概率密度为 求Y=X2的概率密度。 【解】设Y的分布函数为 ，则 对y求导得： * 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 ■ 特别的,如r.v.X~N(0,1),则 * 合河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 于是，Y=X2的分布律为 此时，称Y服从自由度为1的χ2-分布。 变限函数求导公式: * 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 【例3】设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度. 【