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高数22复习题（一） 一、单项选择题 1．下列命题正确的是（　 ） (A) 若在处可微，则在该点处连续； (B) 若在处可微，则存在； (C) 若在处都存在，则在处连续； (D)若在处的二阶偏导数都存在，则在处连续。 2．方程的特解形式为（ ） (A); (B); (C) (D) ; 3．若是内以为周期的按段光滑的函数, 则的傅里叶（Fourier）级数在它的间断点处（ ）． （A）收敛于； （B）可能收敛也可能发散； （C）收敛于； （D）发散 4．若级数 都收敛，则（ ）． (A) 收敛； (B) 收敛 ； (C) 收敛； (D) 收敛。 5. 函数在 点处由指向方向的方向导数为______ (A) (B) (C) (D) 二、填空题 1．函数的梯度 　　　 ． 2．设与所围成，不计算只把三重积分化为先后，最后的累次积分 　　　　　 ． 3．已知向量的模分别为及，则 ． 4．微分方程的通解是 ． 5. 设, 将在上展开为傅里叶（Fourier）级数的系数 (只写表达式，不计算)。 三、求下列各题 1．试求曲面上过的切平面方程。 2．设函数由方程所确定的隐函数，求 3．设，具有连续偏导数，求。 四、计算下列积分 1．计算，其中D是由曲线，直线和围成。 2．计算积分，其中L是从点 A（1，0）经下半圆周到点B（7，0）的路径。 3．利用高斯（）公式计算积分，其中曲面为抛物面被所截下部分的上侧。 五、判断级数的敛散性 1．判断级数的敛散性。 2．判别级数的敛散性。若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛． 六、 求微分方程的解 七、将长为的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。 八．求函数在点A（0，1，0）沿A指向点B（2，-2，2）的方向的方向导数。 解：函数在点A（0，1，0）处可微，且 ；； 而所以 故在A点沿方向导数为： ++ 一、单项选择题 1．(B) 2．(D); 3．(C) 4．(D) 5．(A) 二、填空题 1．；2． 3． 4. 5． 三、求下列各题（本题共3小题，每小题7分，满分21分） 1．试求曲面上过的切平面方程。 解：设 则 切点坐标为 法向量。 故切平面方程为 2．设函数由方程所确定的隐函数，求 解：因为， 所以 3．设，具有连续偏导数，求。 解： 。 四、计算下列积分 1． 计算，其中D是由曲线，直线和围成。6 解：如图 所以 +9 （2分） 2．计算积分，其中L是从点 A（1，0）经下半圆周到点B（7，0）的路径。 解：令 得， 连接,记L及所围区域为D，则由Green公式得： I= = == 3．利用高斯公式计算积分，其中曲面为抛物面被所截下部分上侧。 解：设，取下侧， 则 五、判断级数的敛散性 1．判断级数的敛散性。 解：令 又= 故收敛。 2．判别级数的敛散性。若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛。 解：令，则,且 从而收敛 又，所以 而发散，故发散，从而原级数条件收敛。 六、求微分方程的解。 解：将原方程变形得： 由初始条件积分得： = 七、将长为的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。 解：设剪成的三段分别为，则围成的面积之和为 ，且 这是条件极值问题。作函数为 由