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运算的几种途径运算能力是中学数学要求培养的四大能 力之一, 高考中每年必考 纵观历年高考, 考 . 生由于运算出错而丢分的情形屡见不鲜, 笔 者认为无论是对运算对象的分析, 运算方法 的选择, 还是对运算过程和运算结果的预见 都直接影响运算的成功与否 本文通过例题 . 提出简化运算过程的六大途径, 供大家参考整体代换, 简化运算通 过对表达式的结构进行分析, 利用代 换对表达式进行化简, 让式子的结构特征更 为明朗数形结合, 简化运算 例 7 圆锥曲线 C 同时满足条件: 原点 O 及直线 x = 1 为焦点和相应准线; 被直线 x + y = 0 垂直平分的弦长为 2 2 , 求其方 程通过分析图形, 运用定义, 达到了简 化运算的目的, 即所谓 几何分析越透彻, 代 数运算越简单例 8 已知动点 A , 在直线 x = - 1 上 B ∏ 移动, 设 P ( - 4, 0) , 且 A PB = . 3 ( 1) 求 A PB 外心 M 的轨迹方程, 并求 出轨迹方程中 x , 的取值范围; y ( 2) 斜率为 k 的直线 l 与 ( 1) 中轨迹交于 不 同 两 点 C, ,使用模块, 简化运算运用思维块, 运算块, 简缩运算 如: . a + bi ac + bd bc - ad = + i c+ di c2 + d 2 c2 + d 2 ( a,,, R ) , b c d a + bi 由此 R Ζ bc - ad = 0, c+ di 这样判断一个 分式型 复数是否是实数, 就 不必进行分母实数化 . 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ∏ , 求 z. 4 解 设 z = x + y i ( x , R , y ≠ 0) , 则 y ( x - 2) + y i z - 2 2 = R, ( x 2 - y 2 + 1) + 2x y i z + 1 由上可知 y ( x 2 - y 2 + 1) = ( x - 2) 2x y , 因为 y ≠ 0, 所以 x 2 + y 2 - 4x - 1 = 0 . ∏ 又 arg ( z + 1) = , 4 ∏ y tg = , 4 x + 1 故 x + 1 0, y 0, x = 1, 由此可得 即 z = 1 + 2i . y = 2, 再如: 当 a b 时, a x b Ζ ( x - a ) ( x - b) 0 . 1 ) 0 例 4 解不等式 lg ( x . x 解 原不等式可化为 0 x 1 x 1 x 1, 由 上述结论得 ( x - - 0) ( x 5 1 x - 1) 0, 5 ) (x - 1) (x + 1) (x - 1+ 即 2 ) (x - 1- 2 x 2 0, 利用数轴标根法立得 x {x - 1 x 1- 5 2 }∪ 5 }. 2 其实, 高中数学中类似的思维块, 运算块 很多, 只要做有心人去收集, 体会, 运用, 解题 时就会收到事半功倍的效果 又如: 椭圆, . 双 曲线方程的推导过程, 为我们化简一类方程 提供了方便逻辑推理, 简化运算 例 5 解下列关于 x 不等式 ( x - 1) 2 + 1 log 1 0 ( a R ). 2 1 + 2ax 解 对原不等式作如下等价变形 ( x - 1) 2 + 1 0 1 + 2ax ( x - 1) 2 + 1 1 1 + 2ax . 注: 逻辑推理对简化运算起着重要的作 用 这里特别指出的是不等式 解决了不等 . 式 去分母需讨论的问题, 不等式 解决了 需要讨论求解不等式 的问题, 当然运用例 4 的解法可避免如上问题同理类比, 简化运算例 9 过点 P ( 2, 2) 作倾斜角互补的两条 直线 l1,2 分别交抛物线 y 2 = 2x 于A , 两点, l B 求直线 A B 的斜率 . 解 设直线 l1 的斜率为 k ( 易见 k ≠ 0) , 则直线 l2 的斜率为 - k. 直线 l1 的方程为: y - 2 = k ( x - 2) , y = k ( x - 2) + 2 由方程组 2 y = 2x ] ky 2 - 2y + 4 - 4k = 0, k A (2 ( 估, 可以起到明确解题方向, 简化解题过程, 预防错误的功效 .先估后算, 简化运算 凡事预则立, 不预则废 数学运算同样如 . 此 对运算对象, . 运算过程, 运算结果进行预注: 本题猜出 r 的最大值, 明确了解题方 向, 给人 柳暗花明又一村 的感觉 . 参考文献 1 简洪权. 高中数学运算能 整