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《MATLAB语言》课程论文 基于MATLAB语言求偏微分方程 姓名：马兰 学号：12010245365 专业：通信工程 班级：2010级通信班 指导老师：汤全武 学院：物理电气信息学院 完成日期：2011年12月24日 基于MATLAB语言求偏微分方程 （ 马兰 12010245365 2010级通信班） [摘要]《数学物理方法》中解偏微分方程难度非常大，因内容抽象，数学推导繁琐，平常学习起来感觉非常吃力。通过对MATLAB的学习，发现MATLAB是高性能的数值计算型数学类科技应用软件，具有优秀的数值计算功能和强大的数据可视化能力。应用MATLAB语言求解偏微分方程，一方面可以提高解题的速度，另一方面可将抽象的解和一些特殊函数以图形的形式显示出来，直观明了，物理意义明确，为我们学习带来极大地方便。 [关键词]偏微分方程 MATLAB语言 图形绘制 问题的提出　　 MATLAB是近几年传播速度最快，影响最大的数学类软件。应用MATLAB求解《数学物理方法》中的偏微分方程，使原来繁琐的手工计算变得简便，而且可以使一些解和特殊函数可以而且可以使一些解和特殊函数可以用图形的形式显示出来，形象，直观，便于理解。 MATLAB强大的科学运算，灵活的程序设计，便捷的与其它程序语言接口的功能，显示其很强的优越性。 《数学物理方法》中的许多问题可建立偏微分方程的数学模型。包含多个自变量的微分方程。偏微分方程的求解是一个非常复杂的问题，除了几种极少数情况外，要求出它们精确解是很难的。 随着科学技术的发展，近几十年来其近似解法在理论上和方法上都有很大的进展，而且在各个领域内的应用也愈来愈广泛。下面我们就用MATLAB求解偏微分方程数值解作简单介绍。 有限元方法可用来求解常微分方程(组)边值问题和偏微分方程（组），当求解的偏微分方程中空间变量的几何条件复杂时，有限元方法是解决问题的首选方法。而通过MATLAB解决偏微分显得比较容易。 二、求解偏微分方程类型特征 1、 椭圆型偏微分方程 椭圆型偏微分方程的一般形式为 （1） 其中：若，为的梯度，则其定义为 （2） 散度的定义为 （3） 这样，可以更明确地表示为 （4） 若为常数，则进一步化简为 （5） 其中，又称为Laplace算子。这样椭圆型偏微分方程可以简单地写为 （6） 2、抛物型偏微分方程 抛物型偏微分方程的一般形式为 （7） 根据上面叙述，若为常数，则该方程可以更简单地写为 （8） 3、双曲型偏微分方程 双曲型偏微分方程的一般形式为 （9） 若为常数，则可以将该方程简化为 （10） 三类方程的直接的区别在于对的导数的阶次。 若对没有求导，可以理解为其值为常数，故称为椭圆型的。 若取对时间的一阶导数，则与对的二阶导数直接构成了抛物线关系，故称为抛物型偏微分方程。 若取对时间的二阶导数，称其为双曲型偏微分方程。 4、特征值型偏微分方程 特征值型偏微分方程为 （11） 对常数该方程可以化简为 （12） 该方程是椭圆型偏微分方程的特例。 三、求解偏微分方程例证 通过上面的了解学习，我知道了偏微分方程分类和利用MATLAB求解偏微分方程的方法，下面我就针对典型例题利用MATLAB求解，以实现检验与实践的目的。 1、热传导方程的差分公式 热传导方程可以写成差分形式(右边取t时刻的值计算) （13） 令,上式可写成显式差分公式 稳定条件为 ，截断误差为 。 问题1：细杆传热问题 定解问题： （14） 其中且 （15） 根据上面的公式,编写MATLAB程序如下 clear all