2.5 矩阵的秩及其求法讲解材料.pptVIP

主讲教师: 张宇 线性代数 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 第四节 矩阵的秩及其求法 第二章 三、满秩矩阵 矩阵的秩 是线性代数理论中一个重要的概念。 为了进一步研究线性方程组求解的问题， 还需要引入 矩阵的子矩阵和秩的概念。 这是研究线性方程的基础， 其与向量组的秩等问题都有密切的联系。 1. k 阶子式 定义1 设 在A中任取k 行k 列交叉 称为A的一个k 阶子式。 阶行列式， 处元素按原相对位置组成的 一、矩阵的秩的概念 设 ， 共有 个二阶子式，有 个三阶子式。 例如 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。 显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 当 A＝0 时， 它的任何子式都为零。 当 时，它至少有一个元素不为零， 即它至少有一个一阶子式不为零。 这时再考察二阶子式。 若 A 中有二阶子式不为零， 则再往下考察三阶子式。 依此类推， 最后达到 A 中有 r 阶子式不为零。 而再没有比 r 更高阶的不为零的子式。 这个不为 设 零的子式的最高阶数 r 反映了矩阵 A 内在的重要性， 在矩阵的理论与应用中有重要意义。 其中有二阶子式 但它的任何三阶子式皆为0， 即不为零的子式的最高 阶数 例如： 2. 矩阵的秩 设 ， 有r 阶子式不为0，任何r+1阶 记作r(A)或秩(A)。 子式(如果存在的话)全为0 , 规定秩(A)=0 从本质上说， 的最高阶数。 显然有： 当 时， 定义2 称r为矩阵A的秩， 矩阵的秩就是矩阵中不等于0的子式 称矩阵A 为满秩矩阵。 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵， 求r(B)。 解 ， 由于 存在一个二阶子式不为0，而 任何三阶子式全为0， 则 r(B) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。 如果 求 a . 解 或 例2 设 则 例3 2、用初等变换法求矩阵的秩 定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 即 则 注： 只改变子行列式的符号。 是 A 中对应子式的 k 倍。 是行列式运算的性质。 由于初等变换不改变矩阵的秩， 而任一 都等价 于行阶梯矩阵。 其秩等于它的非零行的行数，即为 所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。 阶梯形， 秩(A)=阶梯数。 例4 解 R(A) = 2 ， 作法 求 例5 例6 求矩阵 解法一 的秩。 但是包含D3 的所有四阶子式 解法二 三、满秩矩阵 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见： A 为 n 阶方阵时， 定义3 对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用： 每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理 定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵 使得 定理4 设A是满秩方阵的充要条件是A为非奇异矩阵。 例如 它的行最简形和标准形是 n 阶 单位阵 E . 对于满秩矩阵A， A为满秩方阵。