2.4 矩阵的初等变换讲解材料.ppt

主讲教师: 张宇 线性代数 一、矩阵的初等变换 第四节 矩阵的初等变换 第二章 二、初等矩阵 解 以下用(1)，(2)，（3）分别代表第一、第二、 第三个方程， 注意方程组的初等变换与方程组的 引例 解非齐次线性方程组 系数和自由项组成的增广矩阵A 之间的联系。 下列三种变换称为方程组的三种 （1）两个方程互换位置； （2）用一个非零数 k 乘某个方程； （3）某个方程的常数倍加到另一个方程上去。 初等变换 互换（1）与（2）的位置得 （2）—（1）×2，（3）—（1）×4 （3）—（2） （阶梯形方程组） （行阶梯形矩阵） 消元过程结束， （3）×（-1/2） （1）—（3）×2，（2）+（3）×2 以下过程称为“回代过程”。 (2) ×(-1/3) (1) －(2) (行最简阶梯形) 回代过程结束。 原方程组的解为： 定义3 下列三种变换称为矩阵的初等行变换 1.对调矩阵的任意两行元素，记作 2.用数 k 乘矩阵的某行所有元素，记作 3.用数 k 乘矩阵中某行的每个元素后加到另一行的 对应元素上去, 记作 (第j行元素乘以数 k 后加到第i行对应元素上去) 一、矩阵的初等变换 每个矩阵都可以经过有限次初等行变换 化为行阶梯形矩阵, 进而化为行最简阶梯形矩阵。 例 4 设 试用初等行变换将A化为行阶梯形， 进而化为行最 简阶梯形矩阵。 定理 1 解 继续使用初等行变换，将B化为行最简阶梯形矩阵 注：矩阵的初等变换是可逆的 如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵 B, 则称矩阵 A 与 B 等价。 利用初等变换的可逆性， 可得矩阵等价的性质如下： 性质 1、反身性 2、对称性 如果 则 3、传递性 如果 则 由定义4： 二、初等矩阵 初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了 充分发挥其作用， 有必要对它进一步探讨。 先看几个矩阵相乘的例子： 设 * * 运行时, 点击 “费马引理” 可显示费马简介.