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麻省理工大学 数字通讯原理 课程课件MIT6_450F09_slide25
MEASURABLE FUNCTIONS A function {u(t) : R → R} is measurable if {t : u(t) b} is measurable for each b ∈ R . The Lebesgue integral exists if the function is measurable and if the limit in the figure exists. 3 2 −T/2 T/2 Horizontal crosshatching is what is added when ε → ε/2. For u(t) ≥ 0, the integral must exist (with perhaps an infinite value). 1 Theorem: Let {u(t) : [−T/2, T /2] → C} be an L2 function. Then for each k ∈ Z , the Lebesgue integral uˆk = 1 � T/2 u(t) e−2πikt/T dt T −T/2 exists and satisfies |uˆk | ≤ 1 � |u(t)| dt ∞. Fur- T thermore, � �2 � � � T/2 k0 � � 2πikt/T � � � lim u(t) − uˆ e dt = 0, k k →∞ −T/2 � � � � 0 k=−k0 where the limit is monotonic in k0. � 2 Given {uˆ ;k ∈ Z}, |uˆ | ∞, the L2 function k k u(t) exists 2 Functions not limited in time We can segment an arbitrary L2 function into segments of any width T . The mth segment is um (t) = u(t)rect(t/T − m). We then have m0 u(t) = l.i.m.m0→∞ � um (t)
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