到曲面s的面积计算公式-graphics@xmu.pptVIP

返回 后页 前页 §6 重积分的应用 应用重积分可求立体的体积及空间物体的质量, 还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等. 一． 曲面的面积 二． 重心 三． 转动惯量 四． 引力 返回 一、曲面的面积 设 D 为可求面积的平面有界区域, 在 D 上 具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程 所表示的曲面 S 的面积. (1) 对区域 D 作分割 T，把 D 分成 n 个小区域 . 这个分割相应地将曲面 S 也分成 n 个 小曲面片 (2) 在每个 上任取一点 , 作曲面在这一点的切 近用切平面 代替小 曲面片 从而当 充分小时, 有 , 并在 上取出一小块 , 使得 与 在 平面 这里 分别 平面上的投影都是 (见图 21-38). 在点 附 (3) 当 时, 定义和式 的极限 (若存在) 现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的 计算公式. 为此首先计算 的面积. 由于切平面 的法向量就 是曲面 S 在点 处的法向量 n, 记它与 z 作为 的面积. 的面积. 表示 轴的夹角为 则 注意到和数 是连续函数 在有界闭域 D 上的积分和, 于是当 时, 上式左边趋于 而右边趋于 这就得 或另一形式: 到曲面 S 的面积计算公式: 解 据曲面面积公式, 其中 D 是 曲面方程 例1 求圆锥 在圆柱体 内 那一部分的面积. 故 是 表示，其中 在 D 上具有连续的 一阶偏导数,且 若空间曲面 S 由参数方程 参数曲面的面积公式 则曲面 S 在点 的法线方向为 记 与 轴夹角的余弦则为 其中 当 时, 对公式 (2) 作变换: 则有 由(4),便得参数曲面(3)的面积公式： 例2 求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积 （图21-39中阴影部分). 解 设球面的参数方程为: 其中 R 是球面半径. 这里是求当 时球面上的面积. 由于 所以 由公式(5)即得所求曲面的面积: 注 在讨论曲线的弧长时,我们曾用弧内接折线长度 地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积 呢? 施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是 不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程 （如菲赫金哥尔茨《微积分学教程》中译本第三卷 第二分册). 的面积公式，下面用二重积分给予严格证明. *例3 设平面光滑曲线的方程为 的极限来定义(当各段的长趋于零时),但能否类似 在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面 求证此曲线绕 轴旋转一周得到的旋转面的面积为 证 由于上半旋转面的方程为 因此 不妨设 则 二、重 心 设密度函数为 的空间物体 V， 在 V 上连续.为求得 V 的重心坐标,先对 V 作分割 T, 是小块 的质量可用 近似代替, 若 把每一块看作质量集中在 的质点时, 整个 物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替.由于 质点系的重心坐标公式为 在属于 T 的每一小块 上任取一点 于 的重心坐标: 当物体 V 的密度均匀分布时, 即 为常数时，则有 当 自然地可把它们的极限定义作为 V 同样可以得到, 密度函数为 的平面薄板 D 的 重心坐标: 当 为常数时，则有 例4 求密度均匀的上半椭球体的重心. 解 设椭球体由 表示. 借助对 又由 为常数, 所以 称性知道 由§5 例5 已知 故得 即求得上半椭球体的重心坐标为 三、转 动 惯 量 A 的质量, r 是 A 与 l 的距离. 现在讨论空间物体 V 的转动惯量问题,我们仍然采 用前面的办法,把 V 看作由 n 个质点组成的质点系， 然后用取极限的方法求得 V 的转动惯量. 设 为 V 的密度函数, 它在 V 上连续.照例 对 V 作分割 T, 在属于 T 的每一小块 上任取一点 质点 A 对于轴 l 的转动惯量为 其中 m 是 质点系对于x 轴的转动惯量是 令 上述和式