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1二次型 - 复制
一、ｎ元二次型 定义1 的二次齐次多项式 含有ｎ个变量 ① 称为二次型． 或记为 注 ①当常数项为实数时，称为实二次型； ②当常数项为复数时，称为复二次型． 二、二次型的矩阵表示 定义2 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形． 定义3 特别地，称 为二次型的规范形． １、二次型 的和式表示 ② ２、二次型 的矩阵表示 ③ 则二次型 ． 其中矩阵Ａ为对称矩阵. 令 任一二次型ｆ 三、二次型的矩阵及秩 对称矩阵Ａ 任一对称矩阵Ａ 二次型ｆ 一一对应 ｆ称为对称矩阵Ａ的二次型； Ａ称为二次型ｆ的矩阵； 对称矩阵Ａ的秩称为二次型ｆ的秩． 练习 写出下列二次型的对称矩阵． 3）复数域Ｃ上的４元二次型 例１ 1）实数域Ｒ上的２元二次型 2）实数域上Ｒ的３元二次型 设 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的 线性变换，将二次型化为标准形． 记 记作 将其代入 有 若|C| ≠0，则④称为非退化线性变换． ④ 注 二次型经过非退化线性变换仍为二次型． 证明 即 为对称矩阵. 说明 解 例2 含有平方项 去掉配方后多出来的项
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