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第六章 定积分的应用 一、内容提要 1.元素法 设某量符合下列条件: ① 是与某个变量的变化区间有关的量； ② 对于区间具有可加性； ③ 部分量可表示成； 则量可以用定积分来计算. 用元素法解题的步骤： ① 选取适当的变量为积分变量，并确定它的变化区间； ② 在区间上任取一个小区间，求出相应于这个小区间的部分量的近似值（在上连续），即 ， 称为量的元素； ③ 以为被积表达式，在区间上积分，得 2.定积分在几何上的应用 (1) 平面图形的面积 直角坐标的情形 极坐标的情形 ⑵ 体积 旋转体的体积 ① 由曲线，直线 及轴所围成 的曲边梯形绕轴旋转一周而成 的旋转体的体积为： ② 由曲线，直线与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为： ③ 由曲线，直线 及轴所围成的曲边梯形 绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为： 平行截面面积已知的立体的体积 设经过点且垂直轴的平面截 立体所得截面的面积为，则立体 的体积为： 其中为体积元素. ⑶平面曲线的弧长 ① 曲线,则 对应的曲线弧长为： 称为（直角坐标系下的）弧微分. ② 曲线，那么，则对应的曲线弧长为： 称为参数形式的弧微分. ③ 曲线，则对应的曲线弧长为： 3.定积分在物理上的应用 (1)变力沿直线做功 物体在变力作用下，沿直线从运动到，所作的功为： (2)水的压力（见例题解析，例6.32） (3)平均值和均方根 ① 连续函数在区间上的平均值是： ② 连续函数在区间上的均方根是： 平均值和均方根在物理学和力学上有许多应用，例如计算平均速度，平均功率，电流的有效值等. 二. 例题解析 1．几何应用 例6.1 求由曲线 所围成的图形的面积. 分析 若选为积分变量，则需计 算三块图形面积之和（见图6-13），因 此选为积分变量. 解 选为积分变量，积分区间为 ，于是所求图形的面积为： 例6.2 求抛物线及其在点 处的法线所围成的图形的面积. 解 两边对求导，得 ， 法线方程为： ，即 由 ,得 . 取为积分变量，则所求图形的面积为： 例6.3 求由曲线，直线 及轴所围成的图形 的面积（见图6-15）. 解 而 所以 （注意：上式第二项积分是为无穷间断点的广义积分） 所以 例6.4 设在区间上, ,,令 ，， ，则（ ）. .（1997年数学考研试题） 解 由所给条件知为单调减少，的曲线是凹的且在x轴上方，如图6-16.是曲边梯形面积，是矩形面积，是梯形面积，故最大，最小，选. 例6.5 曲线与轴所围成的图形的面积.（1998年数学考研试题） 解 首先求出函数的零点：，，.又易判断出在内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方，所以所求面积为 例6.6 求下列曲线所围成的图形的面积： （1）；（2），. 分析 （1）本题直接运用极坐标的面积公式计算即可.关键是确定上、下限.可通过画出草图或函数关系式本身确定的取值范围，两种方法均可.下面使用的是第二种方法. 解 （1）这里，由，有，所以. 又由于图形关于轴对称，故所求面积为： （2） 例6.7 求曲线(双纽线)与圆周 所围成图形的公共部分的面积. 解 显然用极坐标解比较容易.令，则两曲线的极坐标方程分别为及由于图形关于两坐标轴对称，所以所求图形的面积为：，其中是第一象限内的面积.下面计算. 由，解得 令代入 中，求得于是 因此 例6.8 求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值. 解 （方法一）焦点坐标为， 设弦AB、CD过焦点F，且． 由图形6-18得知： 故 所求面积为： （方法二）先将坐标系原点移至焦点，故令，，则 . 再作极坐标变换，得，即 解得 (舍去负根) 设CD与x轴正向的夹角为．于是 令，得.而，于是得内唯一驻点. 又由问题的实际意义知，面积的最小值存在，故只能在唯一驻点上取得.由对称性，可得最小面积为： 例6.9 求由曲线， ， 所围图形公共部分的面积. 解　为小圆 ， 联立两曲线方程消去，得，解得.即除极点外两曲线的另一交点为，故 所求面积为 例6.10　把星形线所围成的图形绕轴旋转，计算所得旋转体的体积. 分析　解出或再代入体积公式计算是可以的，但不如采用参数方程简单． 解　星形线的参数方程为:，由图形的对称性知，所求体积为: 例6.11　求旋轮线与轴所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积(图6-20). 解 例6.12 求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生 的旋转体的体积. （1）绕