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三角函数的应用 学习目标: 1、从实际问题中抽象出数学问题， 建立三角函数模型，并解决问题； 2、培养分析问题、解决问题、应用 数学的能力。 明标自学: 自学指导: 自学课本P41-P42的例1和例2， 总结出利用三角函数解决实际问题的 步骤？ 审题、建模、解模、结论 振幅 初相（x=0时的相位） 相位 知识回顾： 例1． 如图，点O为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远时开始计时。 （1）求物体对平衡位置的位移x(cm) 和时间t(s)之间的函数关系； （2）求物体在t=5s时的位置。 合作释疑，例题讲解： 解：（1） 设 和 之间的函数关系为 则由 可得 当 时， 有 ， 又 故可得 所以所求函数关系为 （2）令 得 故该物体在 时的位置是在 点的左侧且距 点 处. 例2．如图，一个半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间。 (1)将点P距离水面的高度z(m) 表示为时间 t(s)的函数； (2)点P第一次达到最高点 大约需要多长时间？ 3 -2 P P0 x o y 解：（1）如图，建立平面直角坐标系 设 是以Ox为始边，OP0 为终边的角。 由OP在t s内所转过的角为 可知，以Ox为始边，OP为终边的角为 ， 故P点的纵坐标为 ，则 3 -2 P P0 x o y 当t=0时，z=0，可得 ，因为 ， 所以 ，故所求函数关系式为 故点P第一次到达最高点大约需要 解：（2）令 解得 3 -2 P P0 x o y 例3:海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口某季节每天的时间与水深关系表： 点拨拓展： (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值 （精确到0.001） 解:（1）以时间为横坐标， 水深为纵坐标， 在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可以考虑用三角函数来刻画水深与时间之间的对应关系: 从数据和图象可以得出： 所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似 描述为： 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值： 1:00，5:00，13:00，17:00为6.3 m；2:00，4:00，14:00，16:00为7.2 m；7:00，11:00，19:00，23:00为3.7 m；8:00，10:00，20:00，22:00为2.8 m. 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值： 3.7 2.8 2.5 2.8 3.7 5.0 水深 23：00 22：00 21：00 20：00 19：00 18：00 时刻 6.3 7.2 7.5 7.2 6.3 5.0 水深 17：00 16：00 15：00 14：00 13：00 12：00 时刻 3.7 2.8 2.5 2.8 3.7 5.0 水深 11：00 10：00 9：00 8：00 7：00 6：00 时刻 6.3 7.2 7.5 7.2 6.3 5.0 水深 5：00 4：00 3：00 2：00 1：00 0：00 时刻 (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ 解：(2)货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5（米），所以当 y≥5.5 时就可以进港.令 因此，货船可以在凌晨 零时30分左右进港，早晨 5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右。 （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深