恒成立问题与零点问题(文 同步).docVIP

函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值，记作如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值，记作极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求函数的极值的三个基本步骤 求导数； 求方程的所有实数根； 检验在方程的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则在这个根处取得极大（小）值. 求函数最值 求函数在区间上的极值； 将极值与区间端点函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值. 不等式的恒成立问题 若在上恒成立，等价于在上的最小值成立． 若在上恒成立，等价于在上的最大值成立． 对任意，都有成立，等价于构造，． 对任意，都有成立，等价于构造， 对任意，都有成立的充要条件是． 对任意，都有成立的充要条件是． 不等式的能成立（存在性）问题 若存在使得在上能成立，等价于在上的最大值成立． 若存在使得在上能成立，等价于在上的最小值成立． 若存在，使得成立，等价于构造，． 若存在，使得成立，等价于构造，． 若在，至少存在一个使得成立等价． 不等式的恒成立与存在性的综合问题 对任意，存在，使得成立，等价于在上的最大值在上的最大值 对任意，存在，使得成立，等价于在上的最小值在上的最小值. 题型一、恒成立问题 若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 已知函数，若的单调递减区间是，则的值是_______． 已知函数，若在上是单调增函数，则的取值范围是_____． （2009浙江文）已知函数，若函数在区间上不单调，求的取值范围． （2010崇文一模文）已知（）． （Ⅰ）求函数的单调递减区间； （Ⅱ）当时，若对任意有恒成立，求实数的取值范围． （2009朝阳二模文）已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间与极值． （Ⅱ）设，若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． （2013房山一模文）已知函数 . （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若对任意的，都有成立，求a的取值范围. （2013东城二模文）已知函数. (Ⅰ)求的单调区间； (Ⅱ)如果是曲线上的点，且，若以 为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值. 题型二、零点问题 （2008石景山一模文）已知函数． 当时，求函数的极小值； （2）当时，讨论曲线轴的公共点的个数． （2009陕西文）已知函数 （1）求的单调区间； （2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围． （2013海淀一模文）函数,其中实数为常数. (I) 当时，求函数的单调区间； (II) 若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围. 题型三、极限类问题 （2012年海淀期末）已知函数，其中是常数． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围． （2010西城一模）已知函数，其中． （Ⅰ）求函数的零点； （Ⅱ）讨论在区间上的单调性； （Ⅲ）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 已知函数． （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当a0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围； （Ⅲ）若对任意，，且恒成立，求a的取值范围． 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） B． C． D． 若在上是减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2011丰台一模文）已知函数在上是增函数，在上是减函数． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）当时，曲线总在直线上方，求的取值范围． 已知函数， （1）求函数的单调区间和值域． （2）设，函数，，若对于任意总存在使成立，求实数的取值范围． 14 / 14 恒成立问题与零点问题 知识回顾 知识讲解 随堂练习 课后作业 同步课程˙恒成立问题与零点问题