数学思想在高考解题中的应用(一).docVIP

数学思想在高考解题中的应用(一) 一、函数与方程思想 (1)函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并通过函数形式建立函数关系，然后利用函数有关的知识(定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象、导数)使问题得以解决．函数思想贯穿于高中数学教学的始终，不仅在函数各章的学习，而且在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时也起着十分重要的作用． (2)方程的思想是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．在实际问题的解决过程中，函数、方程、不等式等常常互相转化．因此，函数与方程的思想是高考考查的重点知识． 数形结合思想 (1)数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学规律性与灵活性的有机结合． (2)数形结合的思想方法应用广泛，如解方程、不等式问题，求函数的值域、最值问题、三角函数问题，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程．关问题 常考查：利用构造函数的方法解决方程根的分布、数列的最值和证明不等式的成立等问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】 证明：x3－x2＋x＋1＞sin x(x＞0，xR)． [审题视点] 　可构造函数，利用函数的单调性进行证明 根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，使问题得解，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想． 【突破训练1】 设f(x)＝ln x＋－1，证明： (1)当x＞1时，f(x)＜(x－1)；(2)当1＜x＜3时，f(x)＜. 问题 常考查：以方程的角度来观察、分析问题，运用数学语言将问题中的条件转化为方程模型加以解决，如有关直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例2】 (2012·湖南)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心． (1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标． [审题视点] 　(1)将圆的一般方程化为标准方程，然后根据条件列出关于a，b，c，e的方程，解方程(组)即可；(2)设出点P的坐标及直线方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，构造一元二次方程，利用根与系数的关系及P在椭圆上列出方程组，求解得P点的坐标．　(1) ＋＝1.(2) (－2,3)或(－2，－3)或或. 直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想，在解决解析几何问题时常常用到函数与方程的思想． 【突破训练2】 (2012·安徽)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF2＝60°. (1)求椭圆C的离心率； (2)已知AF1B的面积为40 ，求a，b的值． 　(1) .(2) a＝10，b＝5. 常考查：方程解的个数可构造两个函数，使求方程的解的问题转化为讨论两曲线交点的问题，但用图象法讨论方程的解，一定要注意图象的精确性、全面性．　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】 方程x－sin x＝0在区间[0,2π]上的实根个数为(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 [审题视点] 　转化为两函数y＝x与y＝sin x图象的交点个数． 答案　B　 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数． 【突破训练3】设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C　或求最值 常考查：在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】 (2012·潍坊模拟)不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a