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数值计算方法习题及答案[精品]
第一章 引论
1.假设原始数据是精确的. 试按三位舍入运算计算
(164+0. 913)-(143+21)和(164 -143)+(0. 913 - 21)的近似值,并确定它们各有几位有效数字.
2.证明:的相对误差约等于的相对误差的1/2.
3.设实数的位进制浮点机器数表示为. 试证明
,
其中的记号*表示+、-、、/ 中一种运算.
4.改变下列表达式使计算结果比较精确:
(1)
(2)
(3) .
5.求方程 的两个根,使它至少具有四位有效数字.
6.设关于精确数有3位有效数字,估计的相对误差. 对于,估计对于的误差和
相对误差.
7. 设为矩阵,为维向量,而且证明:
其中的元素满足:
8.真空中自由落体距离与时间的关系由下面公式确定:
,
g是重力加速度. 现设g是准确的,而的测量有秒的误差. 证明当增加时距离的绝对误差增加,而
相对误差却减少!
9.序列满足递推关系:. 取及,试分别计算,从
而说明该递推公式对于计算是不稳定的.
□
?第二章 多项式插值
1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式(结果要简化):
(1) -1 0 1/2 1 -3 -1/2 0 1
(2) -1 0 1/2 1 -3/2 0 0 1/2
2. 设是以为节点的次多项式插值问题的基函数.
(1)证明
(2)证明
.
3. 在节点处取值的次数的多项式可写成
其中是某个常数.确定并证明此公式.
4. 设.考虑以为节点的Lagrange插值公式当时的极限.
证明成立公式
,
其中
,
并计算.
5. 给出的数值表
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.70010 0.40160 0.10810 -0.17440 -0.43750 试利用这个表求在0.3与0.4之间的根.
6. 给出的数值表
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.00000 1.23368 1.55271 1.99372 2.61170 试利用Neville法求的近似值.
7.若 ,问
; .
8.设 ,证明
.
而且
.
9.证明下列关系的正确性:
(1)
(2)
(3)
10. 利用差分性质证明:
.
[提示:考虑差分,并利用差分和函数值可互相表示]
11. 分别利用Newton向前与向后插值公式及数据
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554 计算与的近似值.
12.给出自然对数和它的导数的数表如下:
0.40 0.50 0.70 0.80 -0.916291 -0.693147 -0.356675 -0.223144 2.50 2.00 1.43 1.25 (1) 利用Lagrange插值公式求.
(2) 利用Hermite插值公式求.
13.求次数的多项式,满足
.
14.寻找一次多项式满足插值条件:
.
15.设,求在区间上的分段线性插值函数,并估计误差,取等距节点,且.
16.设,求在区间上的分段三次Hermite插值函数,并估计误差,取等距节
点且.
17. 设并且又知求证
18.对任意非负整数,证明:.
19.设,如下样条函数
当在和上变为一次多项式时,称为三次自然样条.证明:当且仅当系数满足下列
关系时,才是三次自然样条.
20.已知插值条件为
1 2 3 2 4 12 1 -1 求相应的三次插值样条函数.
21.求证 .
22.证明等距样条可定义为
.
23.证明B样条的正性:
当.
□
第三章 最佳逼近及其实现 (习 题)
1. 证明:若为狭义线性赋范空间,为的有限维子空间,
则对,在中存在惟一的元素的最佳逼近元素.
2. 设,定义,
问是否为内积?令空间,
若将限制在子空间中,上述是否构成内积.
3. 设,相应的次Bernstein多项式定义为
,
其中.证明:,对,和成立.
.
4. 设.若设在上的一次最佳一致
逼近多项式为.
(1) 求证:
.
(2) 利用(1)的结论,求,在上的一次最佳一
致逼近多项式,估计误差.
5. 选取常数,使达到极小,又问该解是否惟一.
6.
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