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约束条件下最值问题的概率解法 中学数学研究 ２００５年第５期 约束条件下最值问题的概率解法 上海市育才中学（２０１８０１）任念兵 概率是新课程中的热点内容，在概率教学中，适当说明构造概率模型在解题中的运用，体现概率与其它数学内容之同的紧密联系，对增强学生的学习兴趣，加深学生对概率知识的理解，都是很有裨益的．约束条件下的最值问题是中学数学常见题型，本文将另辟蹊径，利用一个 概率定理求解此类最值问题，希望对读者有所 启发． 定理设离散型随机变量ｅ的分布列为Ｐ（ｅ＝以）＝Ａ，ｋ＝１，２，…，７ｌ，则Ｅ莩２≥ （成）２，当且仅当ｚ１＝ｚ２＝…＝‰＝Ｅ拿时等式 成立． 证明２一（）２＿壹ｚｔ）２＝ １一次方程约束下的最值问题 例１ 已知ｚ＋２ｙ＋３ｚ＋４ｕ＋５ｖ＝３０，求 ｗ＝Ｘ２＋２ｙ２＋３２２＋４ｕ２＋５ｖ２的最小值． 解：设离散型随机变量亭的分布列为Ｐ（拿 ２ ｚ）５鑫，Ｐ（ｓ２ｙ）２蠢，Ｐ（￡２ｚ）２赤，Ｐ（￡ ＝“）＝砉，Ｐ（车＝口）＝嘉，则有＝ｚ“?鑫十口?巧５＝２，Ｅ铲＝ｘ２?丢＋ｏ未＋”２（ｘ２＋２ｙ２ ＋３２２＋４ｔ２＋５锄２），由Ｅ铲≥（Ｅ导）２得 ｚ２＋２ｙ２＋３２２＋４“２＋５口２≥６０，当且仅当ｚ＝ｙ＝ｚ＝ｔ＝口＝２时Ｗ取最小值６０．２一次不等式约束下的最值问题例２如果实数ｚ，Ｙ满足３ｚ＋２ｙ一１＞／ 解：整理条件得３（ｘ＋３）＋２（ｙ一１）＞ｔ８，万 方数据设离散型随机变量拿的分布列为Ｐ（￡＝ 了ｘ＋３）＝品，Ｐ（￡＝孚）＝西４，则有 ＝字 呈（兰±呈）±２（型二羔）、旦 １３尹１３ 鹾２＝（字）２ ＇Ｗ。、ｙ、１＾， 侍百ｕ＋１０≥（鹾）２≥（螽）２，解得“≥一６１３６， 垃塑也１３删＝丛１３幽，由睇≥（）２ 即ｔ＝ｚ２＋３，２＋６ｘ一２ｙ的最小值是一百６６．３二次方程约束下的最值问题 例３ 已知实数ｚ，ｙ满足方程ｚ２＋ｙ２— ２ｘ＋４ｙ＝０，求ｚ一２ｙ的最值． 解：（ｚ—１）２＋（ｙ＋２）２＝５，设离散型随机 变量｝的分布列为Ｐ（拿＝ｚ—１）＝号， Ｐ（搴＝一了１（３，＋２））＝ｉ４，则有Ｅｅ＝（ｚ一１）． 吾＋［一号 专（（ｚ一１）２＋（ｊ，＋２）２）＝１，由Ｅ乎≥（Ｅ拿）２得 ４一次方程和二次方程约束下的最值问例４设实数ａ，ｂ，Ｃ，ｄ适合ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ ＋ｅ＝８，ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＋Ｐ２＝１６，则口Ｍ＝ 解：方程化为ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝８一口，ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＋ｅ２＝１６一ａ２．设离散型随机变量亭的分 蒌（Ｘｋ一联）｝Ｐｋ＞ｊＯ，即证． ｙ２＋ｚ２去（ｚ一２ｙ一５）２≤１，一５≤ｚ一２ｙ一５≤５，即得 ０≤ｚ一２ｙ≤１０． 题 ０，那么Ｕ＝ｚ２＋ｙ２＋６ｘ一２ｙ的最小值是—— ——● （ｚ＋３）２＋（ｙ一１）２＝ｔ＋１０． ２００５年第５期中学数学研究 布列为Ｐ（拿＝６）＝ｉ１，Ｐ（ｅ＝ｃ）＝百１，Ｐ（拿＝ｄ）＝百１，Ｐ（搴＝已）＝百１，则有 例６已知ｚ，ｙ６（０，＋ｏｏ），且譬＋９．＿８，＝ １，则ｚ＋Ｙ的最小值是多少？ 解：设离散型随机变量拿的分布列为Ｐ（￡ Ｅｅ＝６１（８一 口）， ２志）＝１９ｚ，Ｐ（ｓ２乡荑）２歹９８，则有 Ｆ隧２＝ｂ２ Ⅸ２志。ｉ１９＋焘爹２佃＋俩， ¨Ｅ铲：ｚ．挈＋壁．ｉ９８１９ Ｚ “’， ９８：ｚ＋ｙ，Ｖ （１６一ａ２），由Ｅ铲≥（联）２得 （１６一ｎ２）≥矗（８一口）２，解得ｏ≤口≤ 警，故口一＝ｉ１６． ５高次方程约束下的最值问题 例５已知ｚ，Ｙ，ｚ，ｔ都是正实数，且８ｘ２＋１８ｙ４＋４２６＋３ｕ８＝１２，则 由砰≥（Ｅ拿）２得ｚ＋了≥（厂两＋ｖ厂甄）２， 即ｚ＋Ｙ的最小值为１１７＋１４４Ｙ８． ７．三角方程约束下的最值问题 例７ 若甜口＋甜Ｊ９十甜ｙ＝１，求 ｓｉｎａｏｏｓｆｌ＋ｓｉｎｆｌｃｊａｓ７十ｓｉｎＴｃｏｓａ的最大值． ２ｘ＋３严＋４２３＋３ｕ４的最大值是——． 解：设离散型随机变量ｅ的分布列为 解：易知ｓ砰口＋ｓ辞Ｊ９＋ｓｉｎ２７＝２，设离散 型随机变量拿的分布列为 Ｐ（拿２ Ｐ（手＝４ｚ）＝矗，Ｐ（拿＝６，）＝矗，Ｐ（拿＝ｚ３）＝乏，Ｐ（搴＝让４）＝鑫．则有．＝４ｚ２“４）， 厌２＝１６ｘ２ 由Ｅ乎≥（Ｅｅ）２得（２ｘ＋３ｙ２＋４２３＋３ｕ４）２≤９６，即得２ｘ＋３ｙ２＋４２３＋３ｕ４的最大值为 ｃｏｓｓｍ＿堕ａ口）＝心卢，Ｐ（ｅ＝群）＝ 甜ｙ，Ｐ（ｅ２恶）＝心口，则有 ＝潞礤卢＋趔ｃｏｓｙ。符”啾ｓｍ＿堡Ｚ ｏｏｄ，ｚ＝ｓｉｎ口ｃｏｓ＃＋ｓｍ卢ｃｃ）ｓｙ＋ｓｉｎｙｃｏｓａ， 耐口＝２，由Ｅ｝２≥（Ｅ｝）２得 Ｆ＿芒２－秦耐Ｊ９＋蓦耐ｙ＋墨 一亿＜Ｒｓｉｎａｏｏｓｆｌ＋ｓｉｎｆｌｃｏｓ７＋ｓｉｎＴｃｏｓａ拒．即得所求最大值为压． 参考文献 ［１］任念兵。浅谈构造概率统计模型解题［Ｊ］．中学数学杂志（高中）２００５．１． ４拓． ６．分式方