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第1章作业题解答 第一章 函数与极限 第1节 映射与函数1A.2D.3A. 4．y?x。5． fn(x)?6．a?1,D??x1?nx2 a?1,D?1,0?a?1,D?[a,1?a] 。 22227． ?(x)?ln(1?x),D?{xx?0} ??第2节 数列的极限 1．D. 2．C. 3．B. 4．证明：?limun?a,????0,?N,当n?N时，有|un?a|??成立，又 n??un?a?|un?a|??， ?lim|un|?a。反过来若lim|un|?1，则limun不一定存在， n??n??n??如un?(?1)n,，则limun不存在，但lim|un|?1。又若lim|un|?0，limun=0 n??n??n??n??第3节 函数的极限 1A.2B.3D.4C.5.C 第4节 无穷小与无穷大 1D.2D.3D.4C.5D. 6．证明：假设函数y?11sin在区间(0,1]上有界，则?M?0,使得函数xx1??11sin?M，若取?2k??,y?2k?????(k???)，矛盾。所以在 x22xx1?区间(0,1]上无界，但?2k?(k???),y?0不是x?0时的无穷大。 xy?第5节 极限运算法则 32x?3x?lim?1。 1A.2C.3B.4B.5．limx???33x???1x?131?x321?6．limn(n?1?n)=limn??n??2n?n2?1?n???n2?1?nn2?1?n???limn???nn2?n?n??1 2a?a2?x2?117．lim?lim??.22x?0x?0x22aa?a?xx?sinx1?sinx/x?lim?1。 8．limx??x?cosxx??1?cosx/x11?n?11??112?2 9．lim?1?????n??limn??2?n??1?1?242?a?0?。 12x?111?2)?lim2?lim?。 x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?12x?x2?x3?3x?1?x2?1?x3?1?lim?lim(1?x?1?x2?x?1)?6。 11．limx?1x?1x?1x?1x?1?x2??(1?a)x2?(a?b)x?b?12．lim??ax?b??lim???0， x??x?1x??x?1????所以1?a?0,a?b?0?a?1,b??1 10．lim(第6节 极限存在准则 两个重要极限 52a 6.0 7.3 8.e 9．1 310． 证明：x1?1?2,设xn?2,则xn?1?2?xn?2?2?2,??xn?有界 下证其 1C，2D，3B,4.3 5．单增 x1?x2,假设xn?xn?1,则xn?1?xn?2?xn?2?xn?1?n??n??xn?xn?12?xn?2?xn?1n??n???0所以?xn?为单增有上界的数列，limxn存在，设limxn?A，则limxn?1?lim2?xn 从而A?2?A?A?2, 第7节 无穷小的比较1D.2C.3C.4.2 tan2x2x?lim?4。 x?01?x?1x?01x2113sinx?x2cosx2cosx?lim(3x?x)?3。 6．limx?0(1?cosx)ln(1?x)x?02x2x27．设?(x),?(x)是x?x0时无穷小，且?(x)??(x)?0，证明当x?x0时， ?(x)??(x)与ln[1??(x)]?ln[1??(x)]是等价无穷小。 证明 ：显然x?x0时α?x??β?x?与ln?1?α?x???ln?1?β?x??是无穷小 5．lim?1?α?x???α?x??β?x?????ln?ln1????1?β?x??1?β?x??ln?1?α?x???ln?1?β?x?????lim?lim?limx?x0x?x0α?x??β?x?x?x0α?x??β?x?α?x??β?x? ?α?x??β?x????limln?1??x?x01?β?x????1?β?x?1α?x??β?x?1?β?x??lne?1第8节 函数的连续点与间断点 1D．2B.3B。4B。5充分不必要。6 x=0,x=-1为无穷间断点,x=3为可去间断点. xn0??0 7． 解：0?x?1f?x??limn??1?xn1?0xn1x?1f?x??lim? x?1f?x??limn??1?xnn??21?1?1????x?n?1 ?00?x?1?1f?x???x?1分段点x?1，limf(x)?0limf(x)?1。x?1为第一类间 x?1?0x?1?0?2x?1?1断点，连续区间?0,1??1,??? ln?1?x?sinbx??????fx?lim?1?f0?alimfx?lim?b?f?0??a 8．.lim