中学代数研究 第3章 方程.ppt

方程的历史发展及其科学价值 方程的定义 同解方程 几种常见方程的变形 解方程的常用方法（第五组报告） 一元三次、四次以及高次方程 韦达公式、方程根的性质 不定方程与中国剩余定理 有关方程的问题求解（第六组报告） 一 方程的历史发展及其科学价值 方程发展简史 方程在中学数学中的地位和作用 方程的科学价值 1 方程发展简史 公元前1700年时期古埃及数学著作《兰德纸草书》记载：一个量，加上它的1/7，等于19，求这个量。另一部古埃及数学著作《柏林纸草书6619》上有一个题目是“将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的3/4”。 古巴比伦泥板书上也有类似的数学问题：“两数互为倒数，二者之差是7，求这两个数”。 欧几里得《几何原本》中则有很多问题还要用到解二次方程。 中国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题。 “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？” 《九章算术》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x、y、z的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”这一名称的来源。 “勾股”章第20题：“今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？” 希腊数学家丢番图《算术》中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程。但没给出一元二次方程的解法。 印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公元628年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书中，也给出了一般二次方程的求根公式。 花拉子米的《代数学》一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述。 13世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献。1247年，秦九昭给出了一般高次方程的数值解法。李冶创立的“天元术”（1248年）和朱世杰使用的“四元术”（1303年）能够求解一大类的高次联立方程。 16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式。 1545年，卡尔达诺在《大衍术》中给出了三次方程和四次方程的解法。 19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。 1832年，伽罗瓦在临终前写下了方程的伽罗瓦理论的短文，其中提供了用欧几里得工具解几何作图题的可能性和用根式解代数方程的可能性的判别法则。奠定了群论的基础。 进入20世纪：①一般的线性方程组求解和实际算法；②一般的多元高次方程求解；③任意多元高次方程的求解。 2 方程在中学数学中的地位和作用 高中阶段对方程学习有较高的要求，重点在于领会方程和函数之间的密切关系以及代数方程与几何图形之间的密切关系。 具体包含以下几方面：函数与方程，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方程等等。 3 方程的科学价值 自学 二 方程的定义 1. “属+种差”的逻辑定义方式 目前中学数学教科书中通用的方程定义是：含有未知数的等式。 好处：比较直观、形象，便于初学者理解和掌握。 缺点：无法从中获得方程思想的实质；可能使方程概念的外延模糊。在中学，方程等许多概念都不能严格定义，只能加以形象描述。 2. 一个可以取代的定义：方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。 好处在于： 它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数； 陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系； 方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。 方程的逻辑定义不必深究，需特别关注求未知数的思想。 3. 用解析式对方程定义： 形如 的等式叫做方程，其中 是在它们定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常函数。 根据解析式的不同形式对方程分类： 据方程的解集和定义域的关系对其分类： 解集是定义域的真子集 恒等方程 矛盾方程 方程解的情况与所在数域有关。 三 一元同解方程 定义1 如果方程⑴f1(x)=g1(x)的任何一个解都是方程⑵ f2(x)=g2(x)的解，并且方程⑵的任何一个解也都是方程⑴的解，那么方程⑴和⑵称为同解方程。 两个无解方程认为是同解方程。 解集相同，且相同的根具有相同的次数，才是同解方程。 还要看数域 定理1 如果函数A(x)对于方程f(x)=g(x)的定义域