七年级下学期与三角形有关的角.docVIP

与三角形有关的角一、目标认知学习目标：重点：难点：二、知识要点梳理知识点一：三角形内角和定理　　三角形三个内角的和等于180°，即可以表示为：在中，有.2、作用：　　在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；已经知道了三角形的内角和等于180°，但要注意的是在解决实际问题时，这一点是不会在已知中告诉你的，也就是往往要把它作为隐含的条件来用，因此在解决此类问题时应该切记．3、定理的推导：　　三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来．由180°可联想到①平角；②邻补角；③两直线平行，同旁内角互补，现举几种常见的证明思路：　　思路1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），　 　　　　所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．　 　　　　又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），　 　　　　所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．　　　　　　　　思路2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．　 　　　　因为DF∥AC（已作），　 　　　　所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），　 　　　　∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．　 　　　　因为DE∥AB（已作）．　 　　　　所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．　 　　　　所以∠A=∠2（等量代换）．　 　　　　又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），　 　　　　所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．　　　　　　　　　　思路3：如图3所示，过A点任作直线，过B点作∥，过C点作∥，　 　　　　因为∥（已作）．　 　　　　所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．　 　　　　同理∠3=∠4．　 　　　　又∥（已作），　 　　　　所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．　 　　　　所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．　 　　　　又∠2+∠3=∠ACB，　 　　　　所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．　　　　　　　　思路4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角。　　　　　　　　　　思路5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；　 　　　　在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角。　　　　　　　知识点二：三角形的外角　　(1)外角的特征有三条：　　　 ①顶点在三角形的一个顶点上．如下图：∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点．　　　 ②一条边是三角形的一边．如：∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；　　　 ③另一条边是三角形某条边的延长线．如：∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。　　(2)三角形有六个外角，每个顶点处有两个外角，但算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外　　　 角和是指三个外角的和，三角形的外角和为360°；和外角有共同顶点的内角叫做和这个外角相邻的　　　内角，它们是互补的，互为邻补角，另外两个内角叫做和这个外角不相邻的内角．知识点三：三角形内角和外角的性质　　　　　因为∠ACD+∠ACB=180°（邻补角定义），　　　　　∠ACB+∠A+∠B=180°（内角和定理），　　　　　所以∠ACD=∠A+∠B（等式性质）．　　（2）作用：①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”；　　　　　　　　②可证一个角等于另两个角的和；　　　　　　　　③经常利用它作为中间关系式证明两个角相等。　　2. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如上图所示，∠ACD∠A或∠ACD∠B．　　作用：利用它证明两个角不相等的关系．要点诠释：　　这两个结论称为三角形内角和定理的推论．它可以当作定理直接使用．利用它证明角不等时，应设法把求证中的大角放在三角形的外角位置上，把小角放在内角位置上，也可以把它们的一部分放在外角或内角的位置上。　　注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思．即 “和它不相邻”的意义三、规律方法指导经典例题透析类型一：三角形内角和定理的应用1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（ ）　　A．60°　　　 B．75°　　　 C．90°　　　 D．120°　　思路点拨：见比设参是常用的方法，设三个角分别为，由三角形内角和定理得。解得，故最大内角为。　　答案：C。　　总结升华：考查了三角形内角和定理的应用。