孤立子及其应用1节.pptVIP

也有这样的尖孤子解。关于这些方程的定解问题研究和精确解是当前的热点研究领域。 完全非线性色散KdV方程 具有所谓尖孤子解，这种孤立子具有紧支撑集。 即这种孤立子仅在一个有限区间上取值，而在此区间外为零。 五、启示 从1834年流体运动中孤立波的发现，至今已有170多年的历史。60年的争论、60年的寂静，和当今在多学科、多领域的重要应用，充分说明了数学物理基础研究的重要性。科学中基本规律的发现与研究，有极其深刻的意义。 以史为鉴，由这段170年的历史不难看出：那种用急功近利的眼光，来看待基础研究和教学的观点看法，显然是违背科学史和短视有害的。 色散波动和扩散波动 考虑一般的线性发展方程,仅限于一个空间变量情形, 对多个自变量情形有类似结果. 设 这里 是常系数线性偏微分算子.设 只要是齐次方程,可得 称为方程的色散关系. 它确定了频率 与波数 之间的关系.显然, 方程和色散关系之间有一一对应关系, 可以互相推出. 若从色散关系中解出 一般而言, 表示一组函数, 其个数决定于色散关系方程中 的次数 ,而 是方程中关于变量 的最高阶导数的阶数. 上式右端的每一个函数,称为一个模式(mode). 对应于每一个模式,有方程的一个特解. 当 是一个模式,其对应的Fourier分量是 随 的演化性质决定 于 的 性质. 1.当 是实的, 相应的Fourier分量是 表示一个谐波. 2. 当 为纯虚数时, 其相应的Fourier分量是 表示一个驻波. 若 , 将随 的增加指数地变成无界,这是一种增长波,系统将称为关于这种模式是不稳定的; 若 , 则 将随 的增加而指数地衰减,这是一种衰减的波,系统将称为关于这种模式是不稳定的. 3. 当 , 其中 及 是实的, 得Fourier 分量 故当 时,这种波是具有指数衰减振幅的谐波,系统关于相应的模式是稳定的; 当 时,这种波是具有指数增长振幅的谐波,关于这种相应的模式是不稳定的. 若 是复值的, 则称相应的波动是扩散波动(diffusive wave); 若 是实的 ,则称相应的波动是非扩散的. 这时,如果 是 的非线性实函数, 即 则称这种非扩散波动 为色散波动. 色散波动的例子很多, 如梁的弯曲方程 弹性杆中的纵波方程(水波\等离子声波) 都是色散波方程 线性KdV方程 也是色散方程. 但热传导方程 是扩散方程.而线性方程 既不是色散方程,也不是扩散方程.Klein-Gordon 方程 也是色散方程. 仅含有偶数阶导数或仅含有奇数阶导数的实系数线性方程,一定具有实的色散关系, 故是非扩散波动,既含有奇数阶又含有偶数阶导数的实系数线性方程,不可能有实的色散系数,故是扩散运动. 但 Schr?dinger方程 也是色散方程.这是因为它具有