华东交通大学概率论及数理统计教程习题课课件.pptVIP

则称 与 是相互独立的。 随机变量 和 相互独立的充分必要条件是： 连续型随机变量 与 相互独立的充分必要条件是： 离散型随机变量 与 相互独立的充分必要条件是： 11、随机变量函数的分布 则 也是一离散型随机变量，且其分布列为： 若 是一维离散型随机变量，其分布列为 若已知 ， 是严格单调函数，其反函数 有连续的导数。则 也是连续型随机变量， 其概率密度为： （注：使反函数无意义的 ，定义概率密度为0） 如果 的联合概率密度为 ， 则随机变量 的概率密度为 特别地，当 与 相互独立时， 上式称为 和 的卷积公式。 三、数字特征 1、数学期望 （1）设离散型随机变量 的分布列为 如果 收敛，则称级数 的 和为随机变量X的数学期望，记为 即 （2）设 X 为连续型随机变量，概率密度 为 ，如果积分 绝对收敛，则称 积分 的值为连续型随机变量 X 的 数学期望，记为 ，即 (3)设 是随机变量 的函数： 若 是离散型随机变量，其分布列为 如果级数 收敛，则 若 是连续型随机变量，概率密度为 如果 收敛，则有 （4）二维随机变量函数的数学期望 如果 是二维随机变量， 是关于X 和Y 的二元函数， 当 是二维离散型随机变量，其联 合分布列为 则 当 是二维连续型随机变量，其联合概率密度为 ，则 （5）数学期望的性质 如果 X、Y 是两个随机变量，C 为任意常数，且 都存在，则数学期望有以下四条常见的性质。 如果 X 与 Y 相互独立，则 2、方差 （1）对随机变量 X ，如果 存在 ，则称 的值为随机变量X 的方差 ，即 （2）方差的性质 3、协方差和相关系数 设（X，Y）是二维随机变量,如果 存在,则称之为 X 与 Y 的协方差,记为 即 而 称之为 X 与Y 的相关系数。 协方差和相关系数具有以下几条性质： 的充分必要条件是存在 常数a，b 使 当 X、Y 相互独立时， 4、常见分布的数学期望和方差 泊松分布 几何分布 二项分布 0-1分布 名 称 2 / ) 1 ( p p - 名 称 均匀分布 正态分布 指数分布 四、常见例题精解 例1、假定某工厂甲、乙、丙３个车间生产同一螺钉。产量依次占全厂的45%，35%，20%，如果每个车间的次品率依次为4%，２%，5%。现在从待出厂的产品中检查出１个次品，问它是由甲车间生产的概率是多少？ 例1、假定某工厂甲、乙、丙３个车间生产同一螺钉。产量依次占全厂的45%，35%，20%，如果每个车间的次品率依次为4%，２%，5%。现在从待出厂的产品中检查出１个次品，问它是由甲车间生产的概率是多？ 解：设 分别表示螺钉由甲、乙、丙三个厂生产， 表示螺钉为次品。则由题意得： 从而: 例2、设 , ， 证明： 。 证: 例3、设随机变量 X 的概率密度函数为： 试求：（1）系数 ； （2）求 （3） 的分布函数 解：（1）， 所以 当 时， , （3）当 时， ， 当 时， 。 所以 例3、设随机变量 X 的概率密度函数为： 试求：（1）系数 ； （3）求 （2） 的分布函数 （1）求关于 和 的边缘概率密度 ； （2）判断 与 是否相互独立； 例4、已知 的联合概率密度为： （3）求 ； 。 ， 解：（1）对于 所以 （2