几类函数的周期.docVIP

几 类 函 数 的 周 期 蒙建亚 甘肃省徽县一中 邮编742300 函数的周期是函数的重要性质之一，也是高中数学的重要内容之一，下面将我就几类常见函数的周期作如下探讨。 函数周期的定义 一般地，对于函数在其定义域上，如果存在一个不为的常数，使得当取定义域内的任意值时，都有,那么我们把函数叫做周期函数,叫做这个函数的周期。不难证明：只要定义域足够宽广也是这个函数的周期。如果在该函数所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正周期就叫做这个函数的最小正周期。根据定义周期函数的定义域无上界、亦无下界。 设为常数，，若对于函数定义域内的任意，符合下列条件之一者 （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 以上各式有分式的分母不为，则，函数是周期函数，且是它的一个周期。我们现推导如下。 由，得，所以. 故 是周期函数，且是它的一个周期。 （2） 由，得. 故 是周期函数，且是它的一个周期。 （3） 由，得. 故 是周期函数，且是它的一个周期。 （4） 由，得. 故 是周期函数，且是它的一个周期。 （5） 同（4）理，可证得。 （6） 设，则 ， ， 即. 故 是周期函数，且是它的一个周期。 三、关于函数图象为轴对称或中心对称图形的函数的周期 （1）若函数的图象关于直线与对称，则是周期函数，且是它的一个周期。 证明： 函数的图象关于与对称 ， ， 令 ，则 得 故 是周期函数，且是它的一个周期。 （2）若函数的图象关于直线对称，且关于点对称，，则是周期函数，且是它的一个周期。 证明： 函数的图象关于对称 ………… 函数的图象关于点对称 …………….. 令 ，则 由得，即…….. 由、得………………….. 令 ，则 ，由得 即 故 是周期函数，且是它的一个周期。 （3）若函数的图象关于点对称，又关于点对称，，则是周期函数，且是它的一个周期。 证明： 函数的图象关于点、点对称 ， 令 ，则 则 即 故 是周期函数，且是它的一个周期。 3