信号与系统教案PPT.pptVIP

* 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2-*页 ■ 电子教案 2.3 卷积积分 2.3 卷积积分 一、信号的时域分解与卷积积分 1 .信号的时域分解 (1) 预备知识 问 f1(t) = ? p(t) 直观看出 2.3 卷积积分 (2) 任意信号分解 “0”号脉冲高度f(0) ,宽度为△，用p(t)表示为：f(0) △ p(t) “1”号脉冲高度f(△) ,宽度为△，用p(t - △)表示为： f(△) △ p(t - △) “-1”号脉冲高度f(-△) 、宽度为△，用p(t +△)表示为： f ( - △) △ p(t + △) 2.3 卷积积分 2 .任意信号作用下的零状态响应 yf(t) f (t) 根据h(t)的定义： δ(t) h(t) 由时不变性： δ(t -τ) h(t -τ) f (τ)δ(t -τ) 由齐次性： f (τ) h(t -τ) 由叠加性： ‖ f (t) ‖ yf(t) 卷积积分 2.3 卷积积分 3 .卷积积分的定义 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分 为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。 2.3 卷积积分 例：f (t) = e t,（-∞t∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)，求yf(t)。 解： yf(t) = f (t) * h(t) 当t τ，即τ t时，ε(t -τ) = 0 2.3 卷积积分 二、卷积的图解法 卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。 下面举例说明。 2.3 卷积积分 例f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。 [解] 采用图形卷积 。 f ( t -τ) f (τ)反折 f (-τ)平移t ① t 0时 , f ( t -τ)向左移 f ( t -τ) h(τ) = 0，故 yf(t) = 0 ② 0≤t ≤1 时, f ( t -τ)向右移 ③ 1≤t ≤2时 ⑤ 3≤t 时 f ( t -τ) h(τ) = 0，故 yf(t) = 0 h(t)函数形式复杂 换元为h(τ)。 f (t)换元 f (τ) ④ 2≤t ≤3 时 0 2.3 卷积积分 图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。 例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？ f1(-τ) f1(2-τ) 解： （1）换元 （2） f1(τ)得f1(–τ) （3） f1(–τ)右移2得f1(2–τ) （4） f1(2–τ)乘f2(τ) （5）积分，得f(2) = 0（面积为0） 2.4 卷积积分的性质 2.4 卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积代数 满足乘法的三律： 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)] 2.4 卷积积分的性质 二、奇异函数的卷积特性 1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) 证： f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0) 2. f(t)*δ’(t) = f’(t) 证： f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*ε(t) ε(t) *ε(t) = tε(t) 2.4 卷积积分的性质 三、卷积的微积分性质 1. 证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)] = [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2. 证：上式= ε(t) *[f1(t)* f2(t)] = [ε(t) *f