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第 5 章 扩散过程理论方法 5.1 Markov 扩散过程 实际的工程系统都会在一定程度上呈现出非线性，线性系统 是客观实际的一种近似模型。对某些特定的问题希望得到准确的 分析，或线性模型无法处理的非线性本质时，必须考虑系统的非 线性。对于非线性系统，在Gauss 随机激励下的响应不再是Gauss 过程了，有必要研究响应的高阶矩，或者直接寻求响应的概率密 度函数。 Markov 扩散过程方法可用于得到非线性系统在Gauss 白噪声 激励下的条件转移概率密度函数。直观地说，所谓 Markov 过程 是指这样的一个随机过程X (t )，对于任何一个随意选取的当前时 刻t0 来说，X (t )在未来时刻t t0 的条件概率特性只取决于当前时 1 刻的状态，而与过去时刻t t0 的状态无关。 设随机过程X (t )于任意两个时刻 与t (t t )的条件概率分 t i j i j 布与条件概率密度分别记为P(x ,t x ,t )与p(x ,t x ,t )，则有 j j i i j j i i P(x ,t x ,t ) = Prob{X (t ) ≤x X (t ) = x } j j i i j j i i p(x ,t x ,t )dx = Prob{x ≤X (t ) ≤x + dx X (t ) = x } j j i i j j j j j i i 条件概率密度满足非负条件和如下归一化条件 ∞ p(x ,t x ,t )dx = 1 ∫−∞ j j i i j 条件概率密度与二维联合概率密度之间的关系为 p(x ,t ;x ,t ) = p(x ,t )p(x ,t x ,t ) j j i i i i j j i i p(x ,t x ,t ) = p(x ,t ;x ,t ) p(x ,t ) j j i i j j i i i i 2 对于三维情形，对于t t t ，有 i j k p(x ,t ;x ,t ;x ,t ) = p(x ,t ;x ,t )p(x ,t x ,t ;x ,t ) k k j j i i j j i i k k j j i i 更精确地定义Markov 过程，设有随机过程X (t ), t ∈T