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Matlab基础 第六讲 求微分方程的解 问题背景和课程要求 求解微分方程(组)的Matlab 命令 dsolve 求解析解 dsolve 的使用 dsolve 举例 dsolve 举例 dsolve 举例 微分方程的数值解 Euler 折线法 初值问题的Euler折线法 Euler 折线法举例 Euler 折线法源程序 Euler折线法举例（续） Runge-Kutta 方法 Runge-Kutta 方法 四阶 R-K 方法源程序 Runge-Kutta 方法 Euler 法与 R-K法误差比较 Matlab函数数值求解 Matlab提供的ODE求解器 参数说明 数值求解举例 数值求解举例 Matlab 求解微分方程小结 上机作业 作业题解答 作业题解答 作业题解答 作业题解答 * * 自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。 由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。 本节主要介绍求解微分方程（组）的 Matlab 命令.研究如何用 Matlab 来计算微分方程（组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的基本数值解法－－Euler折线法。 用 Maltab自带函数 求解 求解析解：dsolve 可求通解,也可求特解 求数值解：  ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、 ode23s、ode23tb dsolve 的使用 y=dsolve(eq1,eq2, ... ,cond1,cond2, ... ,v) 其中 y 为输出， eq1、eq2、...为微分方程，cond1、cond2、...为初值条件，v 为自变量。 例 1：求微分方程 的通解，并验证。 y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x^2),x) syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2) 几点说明 如果省略初值条件，则表示求通解； 如果省略自变量，则默认自变量为 t dsolve(Dy=2*x,x); ％ dy/dx = 2x dsolve(Dy=2*x); ％ dy/dt = 2x 若找不到解析解，则返回其积分形式。 微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如： Dy y； D2y y； D3y y 例 2：求微分方程 在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形。 y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x) ezplot(y); 例： [x,y]=dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, ... x(0)=1, y(0)=1,t) r = dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, ... x(0)=1, y(0)=1,t) 这里返回的 r 是一个 结构类型 的数据 r.x %查看解函数 x(t) r.y %查看解函数 y(t) 只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解。大部分微分方程（组）只能利用数值方法求数值解。 dsolve的输出个数只能为一个 或 与方程个数相等。 例3：求微分方程组 在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形。 [x,y]=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0, ... x(0)=1, y(0)=0, t) ezplot(x,y,[0,1.3]); 注：解微分方程组时，如果所给的输出个数与方程个数相同，则方程组的解按词典顺序输出；如果只给一个输出，则输出的是一个包含解的结构（structure）类型的数据。 常微分方程数值解的定义 考虑一维经典初值问题 基本思想：用差商代替微商 根据 Talyor 公式，y(x) 在点 xk 处有 具体步骤： 等距剖分： 步长： 分割求解区间 差商代替微商 得方程组： 分割求解区间，差商代替微商，解代数方程 为分割点 k = 0, 1, 2, ..., n-1 yk 是 y (xk) 的近似 例：用 Euler 法解初值问题 取步长 h = (2 - 0)/n = 2/n，得差分方程 当 h=0.4，即 n=5 时，Ma