数学竞赛专题讲座 九、直线与平面.docVIP

九、直线与平面 知识、方法、技能 1.平面的基本性质 名称 图形 内容 作用 公理1 1.判定线在面内 2.判定点在面内 公理2 且 1.判定两平面的交线 2.判定点在直线上 3.证明三点共线 公理3 不共线的三点确定一个平面 1.确定平面 2.证明平面重合 3.证明直线共面 推论1 直线与直线外一点确定一个平面 同上 推论2 两条相交直线确定一个平面 同上 推论3 两条平行直线确定一个平面 同上 2.空间点、线、面位置关系 位置 关系 图形 公共点 记法 空间点 与直线 点在直线上 有且只有一个公共点 点在直线外 没有公共点 空间点 与平面 点在平面内 有且只有一个公共点 点在平面外 没有公共点 空间两 条直线 共面 相交 有且只有一个公共点 平行 没有公共点 异面 没有公共点 和异面 空间直线 和平面 直线在平面内 有无数个公共点 直线在 平面外 相交 有且只有一个公共点 平行 无公共点 空间 平面 相交 有无数个公共点 平行 没有公共点 3.平行与垂直的判定 名称 根据 表达式 图形 直 线 与 直 线 平 行 判 定 定义 公理4 线面平行性质定理 线面垂直性质定理 面面平行性质定理 直 线 与 直 线 垂 直 判 定 定义 若所成的角为， 则 异面直线所成的角 线面垂直的性质定理 三垂线定理 三垂线定理的逆定理 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 定义 线面平行的判定定理 面面平行的性质定理 面面垂直的性质定理 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定义 垂直于内任意一条直线， 则 线面垂直的判定定理 线面垂直的判定定理 面面平行的性质定理 面面垂直的性质定理 面面垂直的性质定理 平 面 与 平 面 平 行 的 判 定 定义 面面平行的判定定理 面面平行的判定定理 平面平行的传递性 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定义 与成直二面角 面面垂直的判定定理 面面垂直的性质定理 线面垂直的性质定理 4．立体几何常用证明方法与思路 （1）．直接证法 如果给出一个正确的原命题，由已知公理、定理、条件出发，经过推理得出结论，这种证明原命题的推理称为直接证法． （2）．间接证法 有些命题不易或不能从原命题直接证明，这时不妨证明与原命题等价的命题，而确认原命题，这种证明称为间接证法．立体几何中常用的间接证法有反证法和同一法． 赛题精讲 例.如图，已知平面α，β，γ，αγ，βγ，且α∩β=m，求证mγ． 分析：可用直接证法，即在γ内找出两条直线，使之都与m垂直即可，由于已知αγ，βγ，这样的直线是可以找到的；也可用间接证法，即用反证法或同一法均可以得到证明，这是因为两个平面相交时，只有一条公共的直线．α∩γ=a, β∩γ=b,在γ内任取点P(Pa, Pb) ．作PAa于A，PBb于B，因为αγ、βγ，所以PAα，PBβ，α∩β=m，故PAm，PBm，因此mγ．γ)，如图，则P∈α，P∈β，作Pγ,则PQα，Pβ，所以PQ=α∩β，α∩β,故Q∈m,因此PQ就是m，故mγ． 证法一是通过m垂直于γ内两相交直线来实施mγ的结论；而证法二是用同一法进行证明．本题也可用反证法进行证明． 本题是很容易证明的正确命题，而不是定理，因此在做解答题时，不能作为论证的依据而使用． ③由面面垂直必得线面垂直，因此引出辅助线，利用直接证法和间接证法进行证明，共有四种不同的证法．反证法和同一法又是立体几何中常用的证法． 例.如果平面与外一条直线都垂直，那么． 已知：直线，，．求证：． 分析：若证线面平行，只须设法在平面内找到一条直线，使得，由线面平行判定定理得证． 证明：(1)如图，若与相交，则由、确定平面，设． ． (2)如图，若与不相交， 则在上任取一点，过作，、确定平面，设． ． 例.如图，已知在中，，线段，，为垂足．求证：不可能是的垂心． 分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明． 证明：如图所示，假设是的垂心，则． ∵，∴， ∴，∴． 又∵，∴， ∴， ∴，这与已知矛盾， ∴假设不成立，故不可能是的垂心． 【评述】本题只要满足，此题的结论总成立．不妨给予证明． 例.如图，求证．．【证明】若四点A，B，C，D不在同一平面内，设A点在平面BCD内的射影（垂足）为O，则AO⊥BC，又∵BC⊥AB，∴BC⊥面AOB，∴B