2.1.2 数列的概念与简单表示法(二).docVIP

上课时间 20 年 月 日 课时 第 课时 课题 2.1.2　数列的概念与简单表示法(二) 新课 知识与 技能 1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项. 过程与 方法 1.经历数列知识的感受及理解运用的过程2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 情感、态度与价值观 通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣. 教学重点、难点 1.重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项. 2.理解递推公式与通项公式的关系. 教 学 过 程 设 计 导入新课什么叫数列的通项公式？   ［合作探究］ 数列的表示方法 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法 知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型. 模型一：自上而下 第1层钢管数为4,即14＝1+3; 第2层钢管数为5,即25＝2+3; 第3层钢管数为6,即36＝3+3; 第4层钢管数为7,即47＝4+3; 第5层钢管数为8,即58＝5+3; 第6层钢管数为9,即69＝6+3; 第7层钢管数为10,即710＝7+3. 若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an=n+3(1≤n≤7).  模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1, 即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1. 依此类推：an=a n-1+1(2≤n≤7). 对于上述所求关系，同学们有什么样的理解? 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项. 把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式. 推进新课 1.递推公式定义： 如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 注意：递推公式也是给出数列的一种方法. 如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89. 递推公式为：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8). 2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法. ［例题剖析］ 【例1】 设数列{an}满足.写出这个数列的前五项. 分析：题中已给出{an}的第1项即a1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：an=1+我们将如何应用呢? 解：据题意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5= 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系. 【例2】 已知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an. ［知识拓展］ 已知a1=2，an+1=an-4,求an. an=2-4(n-1). ［教师精讲］ (1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的. 例如，由数列{an}中的递推公式an+1=2an+1无法写出数列{an}中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3=7,a4=15,…. (2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式. ［学生活动］ 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式. (1)a1＝0，an+1＝an＋(2n-1)(n∈N)；(2)a1＝1，a n+1＝ (n∈N)；(3)a1＝3，an+1＝3an-2(n∈N).解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，∴an＝(n-1)2. (2)a1＝1，a2＝，a3＝=，a4＝，a5＝ =，∴an＝. (3)a1＝3＝1+2×30，a2＝7＝1+2×31，a3＝19＝1+2×32， a4＝55＝1+2×33，a5＝163＝1+2×34，∴an＝1＋2·3 n-1. 注：不要求学生进行证明归纳出通项公式. ［合作探究］ 一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？