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斐波那契数列浅探一二 作者：罗烨 斐波那契数列及其通项公式 关键字：斐波那契数列 通项公式 特征方程法 摘要：本文详细介绍了用特征方程法推导出斐波那契数列通项公式的过程，并将特征方程法运用于递推数列求通项，以及利用斐波那契数列通项解决一些日常数学问题。 中世纪著名的意大利数学家莱昂纳多?斐波那契（Leonardo Fibonacci）在其拉丁文代表著作《算经》（亦译作《算盘书》）中提出一个有趣的数学问题： 如果每一对兔子每月能生一对新兔（这里假定每个月所生的必为一雌一雄），而每一对新兔在出生两个月后开始生一对新兔，假定不发生任何死亡，那么一对初生的兔子在一年后能繁殖成多少对？ 列表如下： 月份去年12123456789101112兔子对数1123581321345589144233也即著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233… 最让人感兴趣的是这个数列的递推关系。记 SKIPIF 1 0 为n个月后兔子的对数（n=0,1,2…），显然  SKIPIF 1 0  （1） 如何求出满足此递推式的数列 SKIPIF 1 0 的通项公式呢？ 假设满足递推式的 SKIPIF 1 0  代入递推式得： SKIPIF 1 0  即  SKIPIF 1 0  （2） 解得  SKIPIF 1 0  则 SKIPIF 1 0 的通项公式为  SKIPIF 1 0  （3） 由于 SKIPIF 1 0 ，则  SKIPIF 1 0  从而求出  SKIPIF 1 0  因此斐波那契数列的通项公式为  SKIPIF 1 0  （4） 以上求解方法在解决类似（1）的二阶线性递推数列的通项公式时不失为一种方便且行之有效的方法，称为特征方程法，也叫做不动点法。我们把关于 SKIPIF 1 0 的方程（2）叫做特征方程，它的两个根 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 叫做特征根。 特征??程法求递推数列通项式 定理：已知数列 SKIPIF 1 0 的项满足 SKIPIF 1 0 ，则称方程 SKIPIF 1 0 为数列 SKIPIF 1 0 的特征方程。若 SKIPIF 1 0 是特征方程的两个根，则 当 SKIPIF 1 0 时，数列 SKIPIF 1 0 的通项为 SKIPIF 1 0 ，A、B由初始值决定； 当 SKIPIF 1 0 时，数列 SKIPIF 1 0 的通项为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 由初始值决定； 设数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的通项公式。 解：数学 SKIPIF 1 0 相应的特征方程为 SKIPIF 1 0 ，则特征根为 SKIPIF 1 0  设 SKIPIF 1 0  由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0  SKIPIF 1 0  故 SKIPIF 1 0 . 设p、q为实数， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 是方程 SKIPIF 1 0 的两个实根，数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的通项公式 解：数列 SKIPIF 1 0 相应的特征方程为 SKIPIF 1 0 ，特征根为 SKIPIF 1 0  当 SKIPIF 1 0 时，可设 SKIPIF 1 0  由 SKIPIF 1 0  得 SKIPIF 1