极限与函数数列及其极限判断下列各无穷数列为收敛或.docVIP

1-1　數列及其極限 1. 判斷下列各無窮數列為收斂或發散數列﹐若為收斂數列﹐求其極限﹒(1)﹒　(2)﹒　(3)﹒　(4)﹒　(5)﹒ (1) ﹒ (2) ﹐因為當趨向無限大時﹐會趨向負無限大﹐所以為發散數列﹒ (3) ﹒ (4) 因為﹐所以數列為發散數列﹒ (5) 因為﹐所以數列為收斂數列﹐且﹒即﹒ 2. 求下列各無窮數列的極限﹕(1)﹒　(2)﹒　(3)﹒　(4)﹒ (1) ﹒ (2) ﹒ (3) ﹒ (4) ﹒ 3. 求下列各數列的極限﹕(1)﹒ (2)﹒(3)﹒ (4)﹒ (1) ﹒ (2) ﹒ (3) ﹒ (4) ﹒ 4. 已知﹐求實數的值﹒ 因為﹐ 所以﹐即﹒ 5. 判斷下列各無窮級數為收斂或發散級數﹐若為收斂級數﹐求其和﹒(1)﹒(2)﹒(3)﹒ (1) 這是一個首項﹐公比的無窮等比級數﹐因為公比介於與之間﹐所以此無窮等比級數為收斂級數且其和為 ﹒ (2) 這是一個首項﹐公比的無窮等比級數﹐因為公比介於與之間﹐所以此無窮等比級數為收斂級數且其和為 ﹒ (3) 這是一個首項為﹐公比為的無窮等比級數﹐因為公比﹐所以此無窮等比級數為發散級數（不能求和）﹒ 6. 若數列為等差數列﹐且這項的算術平均數為﹐則　　　﹒ ﹐ 所求﹒ 7. 在中﹐﹐﹐﹐其中分別表示內接正方形﹐如圖所示﹒求正方形的面積和﹒ 設正方形的邊長為﹐ 則﹐得﹐ 此無窮等比級數的首項為﹐ 公比為﹐ 所以此無窮等比級數的和﹒ 8. 已知一無窮等比級數的首項為﹐第二項為﹐求此級數的和﹒ 首項為﹐第二項為﹐公比為﹒ 此無窮等比級數的和﹒ 9. 試證﹕當正整數時﹐不等式恆成立﹒ (1) 當時﹐左式﹐右式﹐因﹐原式成立﹒ (2) 設（）時原式成立﹐即﹐則當時﹐　　　　左式﹐　　　　右式﹐將兩式相減﹐得　　　　左式右式　　　　　　　　　因此左式大於右式﹐即﹐所以原式在時也成立﹒故由數學歸納法可知﹕當正整數時﹐不等式恆成立﹒ 10. 已知對於每一個正整數﹐數列滿足﹐求數列的極限﹒ 因為對於每一個正整數﹐﹐即 ﹐ 又﹐所以由夾擠定理可知﹕﹒ 1-2　函數的概念 1. 已知函數﹐求(1)的定義域﹒ (2)的值域﹒ (1) 因為分母不可為﹐所以的定義域為﹒ (2) 當時﹐﹔當時﹐﹒故的值域為﹒ 2. 已知函數﹐求(1)的定義域﹒ (2)的值域﹒ (1) 因為根號內不可為負數﹐所以 ((﹒ 解得﹒ 故的定義域為﹒ (2) 因為 ﹐ 且﹐所以﹒ 故的值域為﹒ 3. 已知函數﹐求(1)的定義域﹒ (2)的值域﹒ (1) 因為真數﹐即﹐所以的定義域為﹒ (2) 因為﹐所以 ﹒ 故的值域為﹒ 4. 已知函數的定義域為﹐求的值域﹒ (1) 函數的圖形是以為頂點﹐直線為對稱軸之開口向下的拋物線﹒ (2) 因為定義域為﹐所以函數圖形為拋物線的一部分﹐如下圖中的實線部分﹕ 因為圖形的最高點為頂點﹐最低點為﹐所以函數的值域為﹒ 5. 設的值域為﹐求的定義域﹒ 由 ((﹒ 得的定義域為﹒ 6. 求的值﹐其中符號為高斯符號﹒ 原式 　　 　　﹒ 7. 已知函數與﹐求下列各函數﹕(1)﹒ (2)﹒ (3)﹒ (1)﹒ (2)﹒ (3) ﹒ 8. 設﹐求一次函數使得﹒ 設﹐則 ﹒ 因為﹐所以 且﹐ 解得﹐﹐即﹒ 1-3　函數的極限 1. 求下列各極限﹕(1)﹒ (2)﹒ (1) 原式﹒ (2) 原式　　﹒ 2. 求下列各極限﹕(1)﹒ (2)﹒ (1) 原式　　﹒ (2) 原式　　﹒ 3. 求﹒ 利用二項式定理﹐得 原式 　　 　　﹒ 4. 求﹒ 原式 　　 　　 　　 　　﹒ 5. 求﹒ 因為 　　　　右極限﹕﹐ 　　　　左極限﹕﹐ 即右極限左極限﹐所以不存在﹒ 6. 已知﹐求實數﹐的值﹒ 因為此分式在的極限存在﹐且其分母在的函數值為﹐ 所以其分子在的函數值為﹐即 (﹒ 於是 　　　　 ﹐ 即﹐解得﹐﹒ 7. 已知﹐求實數﹐的值﹒ 因為此分式在的極限存在﹐且其分母在的函數值為﹐ 所以其分子在的函數值為﹐即 ﹒ 解得﹒因此 ﹒ 故﹐﹒ 8. 已知﹐求實數﹐的值﹒ 因為此分式在的極限存在﹐且其分母在的函數值為﹐ 所以其分子在的函數值為﹐即分子有的因式﹒ 令﹐則 ﹒ 因此﹐(﹐得 ﹐ 故﹐﹒ 9. 已知三次多項式滿足且﹐求﹒ 因為在的函數值為﹐且在的函數值為﹐ 所以兩分式的共同分子有與的因式﹒於是﹐可設 ﹒ 得 ﹐ ﹒ 由題意﹐得 (﹒ 即﹒ 故﹒ 10. 已知﹐求實數﹐的值﹒ 因為當接近時﹐為負﹐所以 ﹒ 因為此分式在的極限存在﹐且其分母在的函數值為﹐ 所以其分子在的函數值為﹐即 (﹒ 因此﹐ 原式﹒ 故﹐﹒ 11. 已知函數為連續函數﹐求實數的值﹒ 因為當或時﹐是多項式函