张量与向量之间的运算.docVIP

第一章 矢量与张量 §1 向量代数 2 1.1??向量的定义 2 1.2? Einstein约定求和 4 1.3 与 之间的关系 6 §2 张量代数 8 2.1???张量的定义 8 2.2??张量的运算 10 2.3??张量与向量之间的运算 12 2.4??张量与张量之间的运算 13 §3 向量分析 15 3.1 Hamilton 算子 15 3.2??无旋场与标量势 17 3.3? 无源场与向量势 18 3.4 Helmholtz分解 19 §4 张量分析 20 4.1???向量的梯度 20 4.2? 张量的散度和旋度 21 4.3 等公式 22 4.4? 两个重要公式 23 4.5 Gauss 公式和Stokes公式 24 本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。 §1 向量代数 1.1??向量的定义 从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间 中，建立直角坐标系 ，沿坐标 方向的单位向量为 ，即其标架为 。设从坐标原点 至点 的向量为 ，它在所述坐标系中的坐标为 ，那么 可写成 (1.1) 设在 中有另一个坐标系 ，其标架为 ，它与 之间的关系为 （1.2） 由于单位向量 之间互相正交， 之间也互相正交，因此矩阵 (1.3) 将是正交矩阵，即有 ，其中上标 表示转置。从(1.2)可反解出 （1.4） 向量 在新坐标系 中的分解记为 (1.5) 将(1.4)代入(1.1),得到 (1.6) 公式(1.6)是向量 的新坐标 和旧坐标 之间的关系，它是坐标变换系数 的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。 这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组 ，如果在坐标变换下为关于变换系数 由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。 1.2? Einstein约定求和 用求和号，可将(1.1)写成 (1.7) 所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成 ? ???????????????? (1.8) 在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成 (1.9) 有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。 按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成 (1.10) (1.11) 将(1.11)代入(1.8)，得 (1.12) 由此就得到了(1.6)式的约定求和写法， (1.13) 今引入Kronecker记号 ， (1.14) 例如 。应用 ，单位向量之间的内积可写成 (1.15) 向量 和向量 之间的内积可写成 (1.16) 上式中最后一个等号是因为只有 时， 才不等于零，在这里 的作用似乎是将 换成了 ，因而也称 为“换标记号”。 再引入Levi-Civita记号 ， (1.17) 其中 分别取1，2，3中的某一个值。例如 ， ， ，…。利用 ，向量之间的外积可写为 (1.18) (1.19) 1.3 与 之间的关系 Kronecker记号 与Levi-Civita记号 之间有如下关系 (1.20) 证明1 穷举法，先列出 所有可能的81种取值情况， 情形 1 2 3