第十五章 达朗伯原理2.pptVIP

第十五章 达朗伯原理 达朗伯原理 刚体惯性力系的简化 * 引 言 前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单，也容易掌握，因此动静法在工程中被广泛使用。 15.1 达 朗 伯 原 理 一、质点的达朗伯原理 设质量为 的质点M，沿图示轨迹运动，在某瞬时作用于质点M上的主动力为 ，约束反力为 ，其加速度为 。 根据动力学基本方程有 将上式改写成 令 于是，假想 是一个力，称之为质点的惯性力。 的大小等于质点的质量与其加速度大小的乘积，方向与其加速度的方向相反。 则有 即：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。 15.1 达 朗 伯 原 理 例1 球磨机的滚筒以匀角速度 绕水平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半径为 ，试求钢球的脱离角 。 解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象，受力如图。 钢球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为 惯性力 的大小为 假想地加上惯性力，由达朗伯原理 15.1 达 朗 伯 原 理 例1 解得： 这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力，显然当钢球脱离筒壁时， ，由此可求出其脱离角 为 15.1 达 朗 伯 原 理 二、质点系的达朗伯原理 设非自由质点系由 个质点组成，其中第 个质点的质量为 ，其加速度为 ，作用在此质点上的外力的合力为 ，内力的合力为 。在该质点上假想地加上惯性力 ，则由质点的达朗伯原理，有 对整个质点系来讲，有 个这样的力系，将这些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦为平衡力系。由静力学知，任意力系的平衡条件是力系的主矢和对任意点O的主矩分别等于零，即 15.1 达 朗 伯 原 理 二、质点系的达朗伯原理 因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等值反向，因此有 和 ；而剩下的外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约束反力系。设 、 分别为作用在第 个质点上的主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得 即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所有主动力系，约束反力系和假想地加在质点系上的惯性力系构成形式上的平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。 15.1 达 朗 伯 原 理 例2 重P长 的等截面均质细杆AB，其A端铰接于铅直轴AC上，并以匀角速度 绕该轴转动，如图。求角速度 与角 的关系。 解：以杆AB为研究对象，受力如图。 杆AB匀速转动，杆上距A点 的微元段 的加速度的大小为 微元段的质量 。在该微元段虚加惯性力 ， 的大小为 15.1 达 朗 伯 原 理 例2 于是整个杆的惯性力的合力的大小为 设力 的作用点到点A的距离为 ，由合力矩定理，有 即 假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理 15.1 达 朗 伯 原 理 例2 代入 的数值，有 故有 或 15.2 刚体惯性力系的简化 下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯性力系的简化结果。 首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点 的质量为 ，加速度为 ，刚体的质量为M，质心的加速度为 ，则惯性力系的主矢为 由质心的矢径表达式知 ，将其两边对时间求两阶导数，有 于是有 此式表明：无论刚体作什么运动，惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。 15.2