2011大学生数学建模模拟试题一及解答.docVIP

循环比赛的名次问题 摘要 本文主要应用柯西分布隶属函数，研究六支球队循环比赛结果排名的问题。 首先，据题图，规定一种判断胜负的方法，初步得出六值各球队的实力水平，将其划分为四个实力等级，运用柯西分布隶属函数解出四个等级的权重。 其次，用一个六阶“0-1矩阵”表示各队之间的比赛结果，由此求出每支队伍的实力水平。 最后，由实力等级权重和实力水平的组合矩阵,得到六支球队的最终排名。 关键词：偏大型柯西分布隶属函数 0-1整数规划 一 问题重述 n支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。 6支球队比赛结果如下图： 要求通过建立模型，给出六支球队的排名，说明理由；若认为比赛安排不合理，试重新安排比赛。 二 问题分析 题目给出六支球队的循环赛结果图，共比赛15场，每场只记胜负，没有平局，可以确定出各队伍的胜负情况，由胜场数排出名次，再根据每队的胜负情况得出一个类似于0-1整数规划的矩阵，最终得出排名。 三 模型假设 1.六个队的实力不同。 2.比赛结果不存在偶然性。 3.‘1→2’代表2胜1负。 4.只考虑胜场次数对综合排名的影响。 四 符号说明 ：i队和j队的比赛结果； ：第i队的综合实力水平； 五 模型的建立与求解 4.1初步排名 根据6支球队的胜场次数确定了每支球队的初步排名如表（1）： 表（1） 队伍 胜场 负场 初排名 6 4 1 1 4 3 2 2 5 3 2 2 2 3 3 3 2 3 1 1 4 4 4.2确定初步排名各个等级的权重 首先按照6支球队的排名不考虑负场只考虑胜场可以将其初步分为四个等级：第6队为第四等，队4和队5为第三等，队2和队3为第二等，队1为第一等。然后按照柯西分布隶属函数对四个等级进行量化。 柯西分布隶属函数为： 设其中，解得：，，，其结果如表（2）： 表（2） 队伍 1 2 3 4 5 6 等级 1 2 2 3 3 4 f(x) 0.05 0.42 0.42 0.67 0.67 0.8 4.3精确求解各队的实力水平 按照（1）式的结果得到各队间对战结果权重矩阵如下： 其中，主对角线元素为0，代表是自己与自己比，其余的0表示此队伍输。 对每行求和见附录1得到每队的综合实力水平如表（3）： 表（3） 队伍 1 2 3 4 5 6 综合实力水平 0.42 0.47 1.47 0.89 1.14 1.81 4.4确定各队的最终排名 按照综合实力水平越高排名越靠前的原则，根据表（3）得到各队的最终排名如表（4）： 表（4） 排名 1 2 3 4 5 6 队伍 6 3 5 4 2 1 六 评价与改进 只考虑了胜场次数对最终排名的影响没考虑负场次数的影响，应用偏大型柯西分布隶属函数时只用其下段函数导致结果存在误差，并且最后的综合实力水平不能正确表明六支队伍的得分情况。 最后的排名是根据各支球队的实力水平排名，实际应是根据*而得出的一个6*1的矩阵（最终的得分情况）来进行排序。 七 推广 本题模型也可以应用于对n个球队的循环赛结果排名。 参考文献 [1]崔怡，MATLAB 5.3实例详解，航空工业出版社，ISBN-80134-583-5。 附录1： %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%本题程序 %求解柯西分布属函数系数(1+a(x-b)^(-2))^(-1)=f(x) c=sqrt((1/0.8-1)/(1/0.05-1)) b=(4*c-1)/(c-1) a=(1/0.05-1)*(1-b)^2 %排名 x= [ 0 0 0.4200 0 0 0; 0.0500 0 0.4200 0 0 0; 0 0 0 0 0.6700 0.8000; 0.0500 0.4200 0.4200 0 0 0; 0.0500 0.4200 0.6700 0 0 0; 0.0500 0.4200 0 0.6700 0.6700 0 ] A=sum(x)%各队伍的实力水平 4 1 2 3 4 5 6