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数论基础 4.1 数论简介 习题 4.1 数论简介 4.1.1 素数和互素数 1. 因子 设a，b(b≠0)是两个整数，如果存在另一整数m，使得a=mb，则称b整除a，记为b|a，且称b是a的因子。 整数具有以下性质： ① a|1，那么a=±1。 ② a|b且b|a，则a=±b。 ③ 对任一b (b≠0)，b|0。 ④ b|g，b|h，则对任意整数m、n有b|(mg+nh)。 这里只给出④的证明，其他3个性质的证明都很简单。 性质④的证明： 由b|g，b|h知，存在整数g1、h1，使得g=bg1,h=bh1所以mg+nh=mbg1+nbh1=b(mg1+nh1),因此b|(mg+nh)。 2. 素数 称整数p(p1)是素数，如果p的因子只有±1，±p。 任一整数a(a1)都能惟一地分解为以下形式： 其中p1p2…pt是素数，ai0(i=1,…,t)。例如 91=7×11，11011=7×112×13 这一性质称为整数分解的惟一性，也可如下陈述： 设P是所有素数集合，则任意整数a (a1)都能惟一地写成以下形式： 其中ap≥0,等号右边的乘积项取所有的素数，然而大多指数项ap为0。相应地，任一正整数也可由非0指数列表表示。例如： 11011可表示为{a7=1,a11=2,a13=1}。 两数相乘等价于对应的指数相加，即由k=mn 可得：对每一素数p,kp=mp+np。而由a|b可得： 对每一素数p,ap≤bp。这是因为pk只能被pj(j≤k)整除。 3. 互素数 称c是两个整数a、b的最大公因子，如果 ① c是a的因子也是b 的因子，即c是a、b的公因子。 ② a和b的任一公因子，也是c的因子。 表示为c=gcd(a, b)。 由于确定大数的素因子不很容易，所以这种方法不能直接用于求两个大数的最大公因子，如何求两个大数的最大公因子在下面介绍。 如果gcd(a,b)=1，则称a和b互素。 由于要求最大公因子为正，所以gcd(a,b)=gcd(a,-b)=gcd(-a,b)=gcd(-a,-b)。一般gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)。由任一非0整数能整除0，可得gcd(a,0)=|a|。如果将a，b都表示为素数的乘积，则gcd（a, b）极易确定。 例如： 300=22×31×52 18=21×32 gcd(18,300)=21×31×50=6 一般由c=gcd(a,b)可得： 对每一素数p，cp=min(ap,bp)。 4.1.2 模运算 设n是一正整数，a是整数，如果用n除a，得商为q，余数为r，则 a=qn+r,0≤rn, 其中x为小于或等于x的最大整数。 用a mod n表示余数r，则 。 如果(a mod n)=(b mod n)，则称两整数a和b模n同余，记为a≡b mod n。称与a模n同余的数的全体为a的同余类，记为[a]，称a为这个同余类的表示元素。 注意： 如果a≡0(mod n)，则n|a。 同余有以下性质： ① 若n|(a-b)，则a≡b mod n。 ② (a mod n)≡(b mod n)，则a≡b mod n。 ③ a≡b mod n,则b≡a mod n。 ④ a≡b mod n,b≡c mod n,则a≡c mod n。 从以上性质易知，同余类中的每一元素都可作为这个同余类的表示元素。 求余数运算（简称求余运算）a mod n将整数a映射到集合{0,1, …,n-1}，称求余运算在这个集合上的算术运算为模运算，模运算有以下性质： ① [(a mod n)+(b mod n)] mod n=(a+b) mod n。 ② [(a mod n)-(b mod n)] mod n=(a-b) mod n。 ③ [(a mod n)×(b mod n)] mod n=(a×b) mod n。 性质①的证明： 设（a mod n）=ra，(b mod n)=rb，则存在整数j、k使得a=jn+ra，b=kn+rb。 因此 (a+b) mod n=[(j+k)n+ra+rb] mod n=(ra+rb) mod n = [(a mod n)+(b mod n)] mod n （证毕） 性质②、③的证明类似。 例4.1 设Z8={0,1,…,7}，考虑Z8上的模加法和模乘法，结果如表4.1所示。（见77页表4.1） 从加法结果可见，对每一x，都有一y，使得x+y≡0 mod 8。如对2，有6，使得2+6≡0 mod 8，称y为x的负数，也称为加法逆元。 对x，若有y，使得x×y≡1 mod 8，如3×3≡1 mod 8，则称y为x的倒数，也称