概率论-第四章-极限定理.pptVIP

大数定律：凡是用来阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性 的 一系列定理, 统称为大数定律 二项分布的随机变量可看作许多相互独立的 0-1 分布的随机变量之和，下面是当 X ~B(20,0.5) 时，X的概率分布图： * * ? 4.1 大数定律 在一次试验中随机事件的发生与否具有随机性，但在大量的 重复试验中却呈现出明显的规律性。 例1: 在运动会上评判跳水运动员的成绩,是将各个评委打的分数加以平均作为最后的成绩,而且参评的评委越多,这个平均分应越接近于运动员的真实水平; 例2: 测量一个长度为a的物体,一次测量的结果不一定等于真值a, 一般要进行多次测量,当测量的次数很多时,其算术平均值接近于 真值a几乎是必然的. 1 . 在实践中,人们认识到大量测量值的算术平均值具有稳定性. 2. 频率具有稳定性 例:掷一枚硬币,掷的次数越多,出现正面(或反面)的频率越接近于0.5; (P15) 例如： 把一枚硬币抛掷12000次，正面出现的频率为0.5016, 当试验次数n充分大时，正面出现的频率在概率0.5附近摆动， 而且n越大，偏离的可能性就越小 0.5 0.5-? 0.5+? 4.1.1 切贝晓夫（Chebyshev）不等式: （2） X的方差越小，P(|X -EX|e )就越大，即X 的取值越集中在EX 附近。这进一步说明了方差的概率含义：刻划了随机 变量取值与均值的离散程度。 证明： 设X 为连续型随机变量，其密度函数为f(x) 注（1）结论等价于 设随机变量X 的期望EX及方差DX存在，则对任意的 e 0，有 EX EX-? EX+? (P129, 3) 例：某电网有10000盏灯，夜晚每盏灯打开的概率为0.7,假定各灯的开、关彼此独立。用切比晓夫不等式估计夜晚同时开着的灯的数量在6800与7200之间的概率。 解：设X表示夜晚同时开的灯数，则X~B（10000，0.7）。 EX=7000，DX=2100 由切贝晓夫不等式得: 注：X的分布可以不给出,而只给出其期望,方差即可. 思考： 如果准确计算，应为： 例: 设X是掷一枚骰子出现的点数,若给定 1. 实际计算 2. 并验证切贝晓夫（Chebyshev）不等式成立; 解 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 P 5 4 3 2 1 X 6 1/6 EX=3.5, DX=35/12, 4.1.2 切比晓夫大数定律 注: (1)定义中的式子等价于 定义4. 3：设 X 1 , X 2 , …, X n ,…是一随机变量序列，如果存在常数 a ，使对任意的 e 0，都有： 则称随机变量序列 {X n} 依概率收敛于 a，简记为： a a-? a+? (2) {X n}依概率收敛于a意味着对任给正数 e ，当 n 充分 大时,事件“|X n- a|e ”发生的概率很大，接近于 1. 当 n 充分大时, X n的取值就密集在a附近。 切贝晓夫大数定律 贝努利大数定理 由切贝晓夫不等式得： 证： 切贝晓夫大数定律 定理4.1： 设X1, X2, …, X n, … 是相互独立的随机变量序列，期望EX1, EX2, …, EXn, … 及方差DX1, DX2, …, DXn, …都存在，且方差有界（对任意 i 有DXi ? M（常数）），则对于任意的 ? 0，恒有 注：（1）结论等价于 (3)当n充分大时,“n个独立随机变量的算术平均数”的离散程度是很小的。这意味着：只要n充分大，尽管n个随机变量可以各有分布，但其算术平均以后得到的随机变量 将较密集地聚集在 它的期望 附近，不再为个别随机变量所左右。---大数定律 由推论可知，当n充分大时,取( ) 作为 a 的近似值， 推论： 设X1, X2, …, Xn, … 是独立同分布的随机变量序列， EXi =a , DXi =? 2 （i=1，2， …），则对于任意的 ? 0，恒有 这一推论使算术平均值的法则有了理论根据。假使要测量 某一个物理量a , 在不变的条件下重复测量 n 次，得到的 观测值 这些结果可以看作是服从同一分布并且期望值为a 的n 个 相互独立的随机变量 X1, X2, …, Xn …的试验数值。 贝努利大数定理 证：令 设 mn 为 n 重贝努利试验中事件 A 发生的次数，p 是 A 在每次 试验中发生的概率，则对任意的 ? 0 有 或 X1, X2, …, Xn 独立同分布,都服从0-1分布，EXi = p, DXi = p(1-p