数论ch1-3节.pptVIP

* 三、最小公倍数 定义3.1 设a1, a2, … , an是n个整数(n ? 2). 若整数m 是它们之中每一个的倍数, 那么m 就叫做a1, a2, … , an的一个公倍数. 注: |a1a2…an| 显然是a1, a2, … , an的公倍数. 定义3.2 整数a1, a2, … , an的公倍数中最小的正数叫做最小公倍数, 记作[a1, a2, …, an]. (least common multipler) 最小公倍数常用等式 (ⅰ) [a, 1] = |a|，[a, a] = |a|； (ⅱ) [a, b] = [b, a]； (ⅲ) [a1, a2, ?, ak] = [|a1|, |a2| ?, |ak|]； (ⅳ) 若a?b，则[a, b] = |b|。 最小公倍数的性质 定理3.1 设a,?b是任给的两个正整数, 则 ① 若m 是a 和b的任一公倍数, 则 [a,?b] | m, ② 定理3.1的证明: 证 设m 是a 和b的任一公倍数, m ? ak ? bk?. 令a ? a1(a, b), b ? b1(a, b), 代入ak ? bk? 得a1k ? b1k?. 因(a, b) ? 1, 故b1| k. 设k ? b1t, 则有 m ? ak ? ab1t ? t ? ab/(a, b). (3.1) 定理3.1的证明(续): 反之, 当t 为任一整数时, t ? ab/(a, b)为a, b 的一个公倍数, 故(4.1)可以表示a, b 的一切公倍数. 令t ? 1, 即得最小的正数, 故[a, b] ? ab/(a, b), 即结论②成立. 从而再由(4.1)式知, 结论①也成立. 定理3.1的推论 推论1 a,b的所有公倍数为[a,b]的倍数。 （证明略） 推论2 设m,a,b是正整数，则[ma, mb] = m[a, b]。 证明 由定理2及第三节定理2的推论得到 证毕。 定理3.2 设a1, a2, … , an(n ? 2)是n个正整数, 令 [a1, a2] ? m2, [m2, a3] ? m3, … , [mn?1, an] ? mn, 则 [a1, a2, … , an] ? mn. 推论 若m是整数a1, a2, ?, an的公倍数，则[a1, a2, ?, an]?m 。 * * * * * 公倍数与最小公倍数关系. 例如 [18, 24]=72. * 求多个整数的公因子具有结合律.