证明级数不等式的积分放缩法证明级数不等式的积分放缩法.pdfVIP

证明级数不等式的积分放缩法 2015年10月29日 意琦行 数海拾贝 我们先来看一下2003年高考江苏卷的压轴题： 例题1      （2003年江苏）设a 0 ，如图．已知直线：y = ax 及曲 线C ：y = x2 ，C 上的点Q1 的横坐标为a1 （0 a1 a ）．从 上的点 （ ）作直线平行于 轴，交直线 于点 ， C Qn n ⩾ 1 x l Pn+1 再从 作直线平行于 轴，交曲线 于点 ． （ Pn+1 y C Qn+1 Qn n = 1, 2, ⋯ ）的横坐标构成数列{an } ． （1）试求an+1 与an 的关系，并求{an } 的通项公式． 1 n 1 ∑ （2 ）当a = 1 ，a1 ⩽ 时，证明： (ak − ak+1 ) ak+2 ； 2 k=1 32 n 1 ∑ （3）当a = 1 时，证明： (ai − ai+1 ) ai+2 ． i=1 3 （1）解    容易得到 2 an an+1 = , a 于是不难求出 {an } 的通项为 a1 2n−1 ∗ an = a ⋅ ( a ) , n ∈ N . （2）证明    注意到 {an } 单调递减且有界，考虑直接通过有界性放 n 缩： n 1 n ∑ (ak − ak+1 ) ak+2 ⩽ 16 ∑ (ak − ak+1 ) k=1 k=1 1 = (a1 − an+1 ) 16 1 . 32 1 （3）证明    此时由于数列的上界为 ，因此如果按解决第（2）小题 1 的方式无法得到 这样的结果．