法向量法求二面角法向量法求二面角.pptVIP

* 设 ，则有 （图1）或 （图2） 分别为平面α,β的法向量， 二面角 ， 大小为 向量 的夹角为 θ β l α θ β l α 一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的 夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角． 图1 图2 ， θ β l α θ β l α 一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 图1 图2 约定，图1中， 的方向对平面α而言向内. 的方向对平面α而言向内. 的方向对平面α而言向内. 的方向对平面α而言向外. 图2 二. 如何求平面的一个法向量: 1、定义：如果表示向量 平面α的法向量共有两大类（从方向上分）， 无数条。 这时向量 叫做平面α的法向量. 的有向线段所在的 直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α, 记作 ⊥α, 个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定 如图,设 =( x1,y1,z1)、 =(x2,y2,z2)是平面α内的两 理知,若 且 则 换句话说,若 且 则 可按如下步骤求出平面的法向量的坐标. 第二步(列):根据 可列出方程组 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 的坐标. =(x,y,z). 第一步(设):设出平面法向量的坐标为 且 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 殊越好),便得到平面法向量 例题1: 如图3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中 G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平 面GEF的法向量。 D A B C A1 B1 C1 D1 G E F x y z 以D为原点建立右手空间直角坐标系，如图所示， 解： D A B C A1 B1 C1 D1 G E F x y z 则 不妨设正方体的棱长为一个单位长度 由此得 设平面的法向量为 由 可得 令y=1,取平面的一个法向量为 注：因为平面的法向量有无数个，方向可上，可下， 模可大可小，我们只要求出平面的某个法向量即可. 例题4. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中， AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点， 求此时二面角A—A1D—Q的大小． O（A） B A1 C1 B1 D1 D C Q z y x 解 ： 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A1（0，0，2），Q（2，2，0）， D（0，4，0）， 2 4 2 面AA1D的法向量 设面A1DQ的法向量为 则 令a1=1， 则 二面角的平面角为锐角 ∴二面角A—A1D—Q的大小为 ． A z y x D C B S 图5 例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD 中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD， AB=BC=1， 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。 解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系， A z y x D C B S 图5 则 1 1 显然平面SBA的一个法向量为 设平面SCD的一个法向量为 则