【精选】8第三章一元积分学第3部分.pdfVIP

§3 反常积分（广义积分） 内容要点 b 定积分∫a f (x )dx 要求：积分区间[a,b]是有限区间且f (x ) 在[a,b]上是有界的， 如果积分区间推广到无穷区间或f (x ) 推广到无界函数，就是两种不同类型的反常（广义）积分 一、无穷区间上的反常积分的概念（无穷限积分） （一）基本概念 +∞ t 1. f (x)在无穷区间[a , +∞)上的反常积分定义为∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx , a t →+∞ a b b 类似地，f (x)在无穷区间(−∞, b]上的反常积分定义为∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx . −∞ t →−∞ t 若上述极限存在，则称相应反常积分是收敛的，它的值就是极限值； 若极限不存在，则称相应反常积分是发散的，而发散的反常积分没有值的概念. 2. 函数f (x)在无穷区间(−∞, +∞)上的反常积分定义为 +∞ c +∞ c t ∫ f (x)dx = ∫−∞f (x )dx + ∫c f (x )dx = lim ∫t f (x )dx + lim ∫c f (x )dx , −∞ t →−∞ t →+∞ c +∞ 若上述两个反常积分∫−∞f (x )dx 和∫c f (x )dx 同时都收敛 （两个极限都存在），则称反常 +∞ +∞ 积分∫−∞f (x)dx 是收敛的，它的值就是极限值；否则称反常积分∫−∞f (x)dx 发散（此时两个反常 积分至少一个发散） +∞ R 注意 ：判断 f x dx 的收敛性不能用 lim f x dx 的极限存在性.必须要求 ∫−∞ ( ) R →+∞∫−R ( ) c +∞ +∞ f x dx 和 f x dx 两个反常积分都收敛，才能知道 f x dx 是收敛的，但是如果已 ∫−∞ ( ) ∫c ( ) ∫−∞ ( ) +∞ R 经知道 f x dx 是收敛的，而求它的值，那么计算 lim f x dx 是可以的. ∫−∞ ( ) R →+∞∫−R ( ) （二）几个重要的反常积分 ⎧ 1 ⎧ 1 +∞ dx ⎪ , p = 1收敛， +∞ dx +∞ du ⎪