7m8__《高中物理奥赛经典》之极限法.docVIP

五、极限法 方法简介 极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。 图5—1 赛题精讲 例1：如图5—1所示， 一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k ，则物块可能获得的最大动能为 。 解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有 mg = kx ① 由机械能守恒有：mg (h + x) = Ek +kx2 ② 联立①②式解得：Ek = mgh－ 图5—2 例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角β 。 解析：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时间t应该与β角有关，求时间t对于β角的函数的极值即可。 由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为： a = gcosβ 该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t ，则： at2 = 所以：t = ① 由图可知，在ΔOPC中有： = 所以：= ② 将②式代入①式得：t == 显然，当cos(α－2β) = 1 ，即β =时，上式有最小值。β =时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。 此题也可以用作图法求解。 例3：从底角为θ的斜面顶端，以初速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H为多少？ 解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则由：vy = v0tanθ = gt ，解得运动时间为t =tanθ 图5— 该点的坐标为： x = v0t =tanθ ，y =gt2 =tan2θ 由几何关系得：+ y = xtanθ 解得小球离开斜面的最大距离为： H =tanθsinθ 这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。 例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m 。若不计空气阻力，取g = 10m/s2 ，求所需的最小初速及对应的发射仰角。 图5—4 解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d 、h）的最小初速度和发射仰角。 根据平抛运动的规律，水流的运动方程为： 把A点坐标（d 、h）代入以上两式，消去t ，得： =－ = = 令= tanθ ，则= cosθ ，= sinθ ，上式可变为： = 显然，当sin (2α－θ) = 1时，即2α－θ = 90°，亦即发射角α = 45°+= 45°+arctan= 45°+ arctan= 71.6°时，v0最小，且最小速度为： v0 == 3= 9.5m/s 图5—5 例5：如图5—5所示，一质量为m的人，从长为l 、质量为M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。铁板和水平面间摩擦因数为μ ，人和铁板间摩擦因数为μ′，且μ′μ 。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L是多少？ 解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f ，其加速度a1 === μg 。 由于铁板移动的距离L =，故v′越大，L越大。v′是人与铁板一起开始地运动的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。 人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦μ (M + m)g ，根据系统的牛顿第二定律得： F = ma2 + M0 所以：a2 == μg ① 设v 、v′分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度： 因为：mv = (M + m) v′ ② 且：v2 = 2a2l ，= 2a1L 并将a1 、a2代入②式解得铁板移动的最大距离： L =l 例6：设地球的质量为M ，人造卫星的质量为m ，地球的半径为R0 ，人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r 。试证明：从地