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* * 第六章 随机过程分析预测法 §6.1 马尔可夫预测方法 §6.2 鲍克思——詹金斯预测法 §6.1 马尔可夫预测法 一、随机过程的概念与分类 二、马尔可夫过程的基本概念 三、马尔可夫预测模型 四、齐次马尔可夫链的稳定状态 五、马尔可夫预测模型的应用 一、随机过程的概念与分类 一族随机变量称为随机过程,记为 ,T为时间参数集合. 若 中,当t确定之后, 有多种可能结果,这种现象称为随机现象,描述随机现象的量 称为随机变量. 若进行多次观察,可用一族随机变量来描述这 对于某一固定的 确定之后, 为一个随机变量. 随机过程所有可能取值的全体称为该过程的状态空间 二、马尔可夫过程的基本概念 1．马尔可夫链 已知: 随机过程 连续随机过程 离散随机过程 连续参数随机过程 离散参数随机过程 分类: 连续 如温度 离散 其中离散参数随机过程,称为随机时间序列 则称 为马尔可夫过程. 若对时刻 ，在 的条件下， 的分布函数（条件分布）： 这一性质称为无后效性，即,随机过程在时刻tn-1 所处的状态已知，则该过程在时刻tn tn-1所处的状态 仅与tn-1的状态有关，而与tn-1之前的状态无关 称为有限马尔可夫链 若: 当时间,状态都是离散的特殊情况时 3．转移概率矩阵 （1）一步转移概率矩阵 状态空间: ︱ 称为一步转移概率 表示系统从t=n到t=n+1时,状态的变化 马尔可夫链: 条件概率; 性质： （2）一步转移概率矩阵的求法 假定系统有 种状态 这是一种统计估算法,通过频率近似地估计其概率 称为一步概 率转移矩阵 对角线表明系统状态从t=n到t=n+1时无变化 ：状态由 转向 的个数 ：状态 出现的次数 假定系统有 种状态 则： ︱ 状态由 转移到 的转移概率估计值： ︱ 上式中令: 得: （3）k步转移概率矩阵 系统 经过k步转移 K步转移概率为 两个重要性质： （1） （2） 三、马尔可夫预测模型 初始状态 k 经过k步转移后的概率分布： 则: 推导过程(略) 设: 在n=0时 马氏预测模型 为无条件概率 全概率公式： 根据全概率公式: 事件: 构成完备群 另一事件B,当任一 发生时才可能发生 用归纳法证:系统一步转移后: 同理，可得 依此类推 根据递推关系，可得： 四、齐次马尔可夫链的稳定状态 1．齐次马尔可夫链 马尔可夫链 由状态 转为 状态 的概率与状态 所处的时刻无关 2．齐次马尔可夫链的稳定性 与时间原点无关,只与k(间隔期),I,j有关. 与初始状态 无关 无论从系统的那一个状态出发,当 充分大以后,其转移到状态 的概率趋近与一个与初始状态无关的极限概率, 这个极限称为稳态概率. 设 为稳态概率向量，则 3．稳态概率的求法 模型： 即 上述结果表明，稳态概率向量完全取决与P， 而与初始状态概率向量 无关 系数矩阵中各向量线性相关，去掉最后一个，在加上 于是： 五、马尔可夫预测模型的应用 某大学有10000学生，每人每月用一只牙膏，并且 只使用“中华”与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月的调查， 由3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又根 据调查，使用黑妹牙膏的3000人中，有60%的人下月 继续使用黑妹牙膏，40%的人改用使用中华牙膏；使用 中华牙膏的7000人中有70%的人将继续使用中华牙膏， 有30%的人改用黑妹牙膏。也就是说有如表所示的结果 60% 40% 30% 70% 黑妹牙膏 中华牙膏 黑妹牙膏 中华牙膏 分析市场占有率的变化 解 预测占有率的变化 长期占有率预测 一月后 二月后 K月后