中南大学微积分3课件 5.3(续)Green公式-2.ppt

证明 (1) (2) 证明 (2) (3) 证明 (3) (4) 证明 (4) (1) * 5.3.2 Green公式-2 教学目的与要求： 1．掌握Green公式； 2．会运用平面曲线积分与路径无关的条件； 3．会求全微分的原函数； 4．会解全微分方程 知识点：Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数，单连通区域，全微分方程 重点：Green公式 难点：Green公式的应用 教学方式：讲练结合，多媒体辅助 教学思路：在论证Green公式成立的基础上，逐一介绍Green公式在多方面的应用。平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数，求解全微分方程是三个有密切联系的问题，在介绍过程中要强调这一点，这样既省时间又能使知识相互渗透。 一 曲线积分与路径无关的定义 二 曲线积分与路径无关的条件 三 二元函数的全微分 5.3.2 Green公式-2 G y x o B A 如果在区域G内有 一、平面曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 定理 1 证 充分性 在 G 内任取一条闭曲线 C 。 C 所围的闭区域为 D。 证 充分性 在 G 内任取一条闭曲线 C 。 C 所围的闭区域为 D。 G 是单连通的，因此， 于是，在 D 内 应用格林公式，有 即，在 G 内曲线积分 与路径无关。 必要性 用反证法 假设在 G 内存在使 的点 M0， 必要性 用反证法 假设在 G 内存在使 的点 M0， 即 不妨设 由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内 应用格林公式，有 于是， 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内 应用格林公式，有 矛盾。 因此，在 G 内恒有 两条件缺一不可 有关定理的说明： 即选择较简便的路径计算 应用1(直接应用，简化曲线积分的计算) 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 解 故原式= 解 练习：Ｐ239---2(3) 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2. 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (2) (3) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 (4) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点B( x, y ), 与路径无关, 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 设L为D中任一分段光滑闭曲线, (如图) , 利用格林公式 , 得 所围区域为 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 设 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线, 则 (根据条件(4)) 证毕 4.3.3、全微分准则、原函数 定理5.5 若在单连通区域G内函数u(x,y)是Pdx+Qdy的原函数，而 是G内的任意两点，则 证明：在Ｇ内任取连接点Ａ到点Ｂ的光滑曲线Ｌ： End 说明：若u(x,y)易求得,可借助定理5.3求Ⅱ型曲线积分 例如，（P239-5(1)）先求出被积表达式的原函数再计算积分： 该条件的检验不可省略 方法1:直接观察，看能否用凑微分法 进一步问：求u(x,y)的其它方法（用凑微分法不易行）－－借助Ⅱ型曲线积分 中取定一点 在定理5.5 的公式 例:已知　　　，试确定函数　　，　　　　　　　　　　 使得　 为某个函数的全微分，并求之．　 由定理5.4知 得：