§5-4向量的坐标表示.ppt

* §5-4 向量的坐标表示 一、位置向量 0 P(x1,y1) A B Y X 在平面直角坐标系XOY内,以原点为始点,点P为终点的向量OP,由于始点是确定的,所以OP的模和方向都由P点的位置确定,叫做OP是点P的位置向量. 在XOY内， 任一向量AB，都可以作出一个位置向量OP，使OP=AB，见图： 在XOY内，取与X轴、Y轴同方向的两个单位向量 为: ，则：坐标平面上任一向量可以用分向量表示： i j 按照向量加法的平行四边形法则, OP=OP1+OP2 点P的位置向量OP的表达式:OP= x1 i + y1 j OP的坐标,即P点的坐标,记作:OP = (x1, y1) O P(x1,y1) P1(x1,0) P2(0,y1) Y X 例1 ：写出在平面直角坐标系内下列各点的位置向量. （1）A(-3,2)；（2）B(-1, -1);（3）C(1, -4). 规定: 与x轴正半轴同向的单位向量,记作 i, 与y轴 正半轴同向的单位向量,记作 j ，而 a =| a |·a0. 分析：这是由点P的坐标,写出它的位置向量 OP的表达式： OP= x1 i +y1 j 解：（1）OA= -3i +2 j. （2）OB= -i –j. （3）OC= i -4j. 二、向量的坐标表示 坐标是A（ ），它的终点坐标是B（ )，则向量 y x o A(x1,y1) B(x2,y2) P（ ） j i 在平面直角坐标系XOY内任一向量AB，它的始点 AB 的坐标是P（ ）如图示： [证明] ∵ OB=OA +AB AB=OB－OA = (x2 i +y2 j)－(x1 i +y1 j) = (x2－ x1)i + (y2 －y1)j ∴ 平面直角坐标系XOY内任一向量AB ,有：A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的坐标表示为： AB = (x2-x1, y2-y1). [结论1] 在平面直角坐标系XOY内任一向量的横（纵）坐标 等于它的终点的横（纵）坐标减去始点的横（纵）坐标. 例2 ： 已知 ：点P(5,7) 点Q(-7,4)， = √144+9 = 3√17. 求 ： PQ和QP坐标,及|PQ|. 解：∵AB=(x2-x1，y2-y1) ∴ PQ=(-7-5, 4-7)= (-12, -3). QP=[5-(-7), 7-4]= (12, 3) ∵ |AB| = √(x2－x1)2 + (y2－y1)2 ∴ |PQ| = √(－12)2 + (－3)2 三、向量的加、减、数乘运算转化为向量的坐标运算 1、向量坐标的加减运算 [结论2]： 两向量和与差的坐标，等于两向量相 应坐标的 和与差. 在XOY内， 已知：a = ( a1,a2 )； b = ( b1,b2 ) ∵ a = a1 i + a2 j； b = b1i + b2 j 而： a + b=(a1+ b1) i + (a2+ b2) j a - b= (a1-b1) i + (a2-b2) j= (a1-b1, a2-b2) ∴a + b = (a1+b1, a2+b2) a - b = (a1-b1, a2-b2) 2、向量坐标的数乘运算 [结论3]:数乘向量所得倍积的坐标，等于用这个数乘上 原来向量的相应坐标. 对任意实数R，有 Ra=R( )=R + R . ∴Ra=(R ,R ). 例3 ：已知 ：a = －3 i +5 j ， b = 2 i－3 j 求 ：3 a－2 b 解：∵3a =(－9, 15) 2b =( 4, －6) ∴3a－2b = (－9－4, 15+6) = (－13, 21). 或 ： 3a－2b = －13 i + 21 j. 例4： 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2,1), B(-1,3), C(3,4)，求 ：顶点D的坐标. A(－2,1) B(－1,3) C(3,4) D O(0,0) y x 法二：见P177. 解：∵OD=OA+AD =OA+BC OA=(－2,1)； BC=(3+1,4－3)