最值问题和参数问题.docVIP

圆锥曲线最值问题 1、已知P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点. 已知共 线，共线，且. 求四边形PMQN的面积的最小值和最大值. 2、已知椭圆C:（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值. 3、已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点. （1）求该椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程； （3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。 4、已知曲线C=所围成的封闭图形的面积为4,曲线C的内切圆半径为，记C2为以曲线C与坐标轴的交点顶点的椭圆. 求椭圆C2的标准方程； 设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点. 若|MO|=|OA|(O为坐标原点)，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程； （）若M是与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值。为椭圆的两焦点，为上任意一点，且向量与向量的夹角余弦的最小值为。 （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆交于两点，求（为原点）的面积最大值及相应的直线的方程。 6．已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1． （1）当直线过点时，求直线的方程； （2）当时，求菱形面积的最大值． 7、已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率． （1）求该双曲线的方程； （2）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； 圆锥曲线最值问题答案 1、解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.又PQ过点F（0，1），故PQ方程为将此式代入椭圆方程得 设P、Q两点的坐标分别为 （i）,同上可推得 故四边形面积 因为 （ii）当k=0时，MN为椭圆长轴，、, 综合（i），（ii）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为 2、解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为． （Ⅱ）设，．（1）当轴时，．（2）当与轴不垂直时， 设直线的方程为．由已知，得．把代入椭圆方程，整理得，，． ． 当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述． 当最大时，面积取最大值． 3、解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为 (2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由中点标公式得x=x0=2x－1，y0=2y－， 由点P在椭圆上,得, ∴线段PA中点M的轨迹方程是. (3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1. 当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入, 解得B(,),C(－,－), 则,又点A到直线BC的距离d=,∴△ABC的面积S△ABC= 于是S△ABC=由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立. ∴S△ABC的最大值是. 4、解：（I）由题意得由ab0，解得a2=5, b2=4椭圆的标准方程为=1. （II）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx(k≠0),A(xA,yA). 解方程组 得 所以设M(x,y)，由题意知|MO|=λ|OA|λ0)，所以 |MO|2=λ2|OA|2，即, 因为l是AB的垂直平分线，所以 直线l的方程为y=,即k=, 因此又x2+y2=，故 又当k=0或不存时，上式仍然成立.综上所述，M的轨迹方程为（λ0）, 当k存在且k0时，由（1）得,由解得 所以|OA|2=, 解：由于= ===（）2， 当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立，即k=1时等号成立，此时△AMB面积的最小值是S△AMB=.当 当k不存在时， 综上所述，的面积的最小值为Ⅰ）由题意得直线的方程为．因为四边形为菱形，所以． 于是可设直线的方程为。由得． 因为在椭圆上，所以，解得． 设两点坐标分别为，则，， ，．所以．所以的中点坐标为． 由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得． 所以直线的方程为，即． （Ⅱ）因为四边形为菱形，且，所以． 所以菱形的面积．由（Ⅰ）可得， 所以．所以当时，菱形的面积取得最大值． 6、解：（Ⅰ）由题意可知，设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得 ， 该双曲线的方程为； （Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点， 所以，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故， 从而 当在线段CD上时取等号，此时的最小值为 直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故 由 解得 所以点。 1 数学中国