函数一致连续性的判定.pdfVIP

目 录 1摘要 ……………………………………………………1 2 关键词 ……………………………………………………1 3 基本概念与定理 …………………………………………1 4有限区间上一致连续函数的判定 ………………………1 5 无限区间上一致连续函数的判定 ………………………4 6 一致连续性的应用 ……………………………………8 7参考文献 ………………………………………………10 8英文摘要 …………………………………………………10 函数一致连续性的判定 摘要：函数在区间I上的一致连续性与连续是两个不同的概念,后者是一个局部性概念,前者 具有整体性 ,它刻画了函数f(x)在区间 I上变化的相对均匀性.本文总结了几个判别函数 一致连续性的方法，并给出了几个简单应用. 关键词：函数、连续、一致连续、收敛 引言 函数的一致连续是数学分析中的一个重要概念.连续是考察函数在一个点的 性质而一致连续是考察函数在一个区间的性质.一致连续比连续的条件要严格， 在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续.因此本文 总结了通过函数的连续性寻找一些函数一致连续的判别法. 1．基本概念与定理 定义（一致连续 ）：设函数 f (x) 在区间 上有定义，若I  0, 0,x ,x I ，当x x  时，有f (x )f (x )  ，则称函数f (x) 1 2 1 2 1 2 在 上一致连续.I 注：设函数f (x)在区间 上有定义，若I  0, 0,x ,x I ，当 0 1 2 x x 1 2 时，有f (x )f (x ) 1 2 0 ，则称函数f (x)在区间 上不一致连续. （I     Cantor定理）：若函数f (x)在区间 a,b 连续，则f (x)在区间 a,b 上一连续. 2.有限区间上一致连续函数的判定 f (x) ab, f (x) ab, 定理 1 函数 在 上一致连续的充要条件是函数 在 上连 续. f (x) ab, f (x) ab, 定理2 函数 在 上一致连续的充要条件是函数 在 上连续 且 ， 都存在. limf (x) limf (x) xa xb f (x) ab, 证明 必要性，因为函数 在 上一致连续， 即 0, 0,xy,  ab, ，且xy  ，有f (x)f (y)  ，显然函数   f (x) ab,  0, 0,x ,x  ab, x ,x  aa,  在 上连续，且 1 2  ，当 1 2  时，当 然x x 1 2 ，有f (x )f (x ) 1 2 . 1 根据柯西收敛准则，limf (x)存在.同理可证，limf (x)存在. xa xb 充分性,因为