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第十三章 轴对称;如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？; 探究一：最短路径问题的概念 ;　　引言： 　 关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马题”；和“造桥选址题”。 ;【学习目标】 利用轴对称、平移变换等转化思想，结合线段公理解决最短路径问题。 【学习重、难点】通过轴对称、平移解决将军饮马和造桥选址的最短路径问题;如何理解通过轴对称、平移解决将军饮马和造桥选址的路径一定是最短.;;;;;　　问1　对于问题2，如何 将点B“移”到l 的另一侧B′ 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB′的长度 相等？ ;　　问2　你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B′吗？ ;;;　　证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′．;;问题二（造桥选址问题）如图13.4-6,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.) ;　　桥MN建在何处时，才能使AM+MN+NB最短呢？因为河的宽度MN是不变的，所以问题就转化为求AM+NB最短。怎样找出点M和点N的位置呢？事实上MN 与河两边垂直。因此只要找出M，N其中一点的位置就可确定另一点的位置。以在直线b上确定N点为例;AM+NB最短，要先确定点N在直线b的位置，如果我先将A点往直线a的垂直方向平移MN个单位后到A′，由于MN垂直直线a，N点就是M点往直线b的垂直方向平移MN个单位后到的点，由图形平移后的对应点之间的线段是平行且相等的，得到AM=A′N. AM+NB最短即A′N+NB最短. 转变成了直线b上是找到一点N，使A′ N+NB最短,连结A′,B,与直线b相交的一点为N点;;④提出疑问 这线段NM的位置就一定是A点到B点之间最短的吗？;证明：把A点往直线a的垂直方向平移MN个单位后有了A′,N为M点平移后的，N′为M′平移后，由图形平移后对应点间的线段平行且相等得到：;1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球?2、如图2，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为多少？;分析： 根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案． 解答： 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠BAD＝120°， ∴∠HAA′＝60°， ∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°， 点评： 此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． ; 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，在利用轴对称和平移将线段和最小问题转化为“两点之间线段最短”（或三角形两边之和大于第三边）问题； 。 ;