第6节-极限存在准则-两个重要极限.pptVIP

在研究比较复杂的数列/函数极限问题时，通常分两步走： 第一步，考察所给数列/函数是否有极限（极限的存在性问题）； 第二步，若数列有极限，则考虑如何计算此极限（极限值的计算问题）。 这是极限理论的基本问题。 一、准则I及第一个重要极限 二、准则II及第二个重要极限 §1.6 极限存在准则 两个重要极限 上页 下页 铃 结束 返回 首页 1. 理解两个准则。 2. 了解两个重要极限的证明方法。 3. 熟练掌握两个重要极限。 本节课的学习要求 一、准则I及第一个重要极限（P46） 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件? (1)从某项起，即 存在no,当 nn0时，有 yn?xn?zn? 准则 I （两边夹准则） 上两式以及yn?xn?zn同时成立, 证 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件? (1)从某项起，即 存在no,当 nn0时，有 yn?xn?zn? 准则 I （两边夹准则） 准则I? （两边夹准则） 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件? (1) g(x)?f(x)?h(x)? (2)lim g(x)?A? lim h(x)?A? 那么lim f(x)存在? 且lim f(x)?A? 注意：数列极限存在的准则可以推广到函数的极限. 例1 解 由两边夹准则得 一、第一个重要极限（P46） 第一个重要极限 因此 sin x? x ? tan x ? 简要证明 参看下图? 设圆心角?AOB=x D B 1 O C A x 这是因为? 令u=a(x)? 则u?0? 于是 第一个重要极限 在使用该重要极限时，要注意它的特点，才能用起来得心应手，解决更多的求极限问题。第一重要极限的特点： （1）“ ”型； （2）“三位一体”现象： 例2 解 解 例3 （二）单调有界收敛准则 第二个重要极限 一、单调有界收敛准则（准则II） 二、第二个重要极限 一、单调有界收敛准则（准则II）（P48） 单调数列：如果xn?xn+1? n?N?? 就称数列{xn}是单调增加的；如果xn?xn+1? n?N?? 就称数列{xn}是单调减少的? 单调增加和单调减少的数列统称为单调数列? 思考： 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？ 注：这里的单调数列都是广义的，包含相等的情形. （P24 定理2） 不一定 问题：有界的数列满足什么条件时一定收敛？ M 准则II 单调有界数列必有极限? 准则II的几何解释 x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以单调增加数列为例? 数列的点只可能向右一个方向移动. 两种情况：或者无限向右移动? 或者无限趋近于某一定点A. 显然，对有界数列只可能有后者情况发生? 利用实数理论证明，不要求！ 一、单调有界收敛准则（准则II） 准则II 单调有界数列必有极限? 定理：数列有界当且仅当该数列既有上界又有下界. 推论1：单调增加有上界的数列必有极限. 推论2：单调减少有下界的数列必有极限. （数列首项是下界） （数列首项是上界） 一、单调有界收敛准则（准则II） 例1. 证明： (负值舍去) 单调增加、有上界；单调减少、有下界 求极限 证有上界 证单调增 二、第二个重要极限（P49） 1∞型 根据准则II? 数列{xn}必有极限. 第二个重要极限 证明思路： 1. 构造数列 ，并证明{xn}极限存在。 可以证明： (1)xn?xn+1? n?N?? (2)xn?3? e是个无理数? e = 2? 7182818? ? ? 牛顿二项式公式 放缩法 证: 当 时, 设 则 2. 证明 两边夹准则 利用幂函数、指数函数的单调性 分 两种情况证明： 则 从而有 故 当 时, 令 变量代换 下证 注意: 利用变量代换，此极限也可写为 (1) “第二个重要极限”的三个特点: a. 底是两项和(1+无穷小); b. 指数是无穷大; c. 指数与底中的无穷小互为倒数. 注: 代表相同的表达式 注意: (3) 第二个重要极限解决的是 型极限，结果 不一定是1. 第二个重要极限 解 例2 令t = -x?