厦门市集美区高二数学竞赛试题.docVIP

集美区高二数学竞赛试卷 一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分.每小题有且只有一个正确选项） 1. 已知集合An=，则A6中各元素的和为（ ）　　 (A) 792 (B) 890 (C) 891 (D) 990 解：答案：C． A6=，当m=10时，x=71． 当m=18时，x=127．∴A6中各元素的和为 2 已知数列的通项公式是，前n项和为Sn，当取得最小值时，n的值是（ ）　 　(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 解：答案：Ｂ．Sn＝，其变化主要取决于项，其余各项可以忽略，当ｎ＝１０，即＝２０４８时，∴取最小值． 3. 四面体S-ABC中，三组对棱分别相等，且分别为、、5，则此四面体的体积为（ ）　 　(A) (B) (C) (D) 30 解：答案：Ａ．构造长方体，使其面对角线长分别为、、5，设过同一顶点的三条棱长分别ａ、ｂ、ｃ且，，．解得：，，．∴四面体体积为． 4. 已知函数 （、为常数，且），，则的值是（ ） (A) 8 (B) 4 (C) -4 (D) 与、有关的数 解：答案：Ｂ．∵为奇函数，， ．∴＝２， ∴＝＋６＝－２＋６＝４． 5. 、、是从集合中任取的个重复，则为奇数的概率为．(A) (B) (C) (D) 解：答案：Ｄ．这是等可能性事件，事件总数为６０，而和为奇数，必是“奇数＋偶数”，或“偶数＋奇数”；前者发生的次数为１２次，后者发生的次数为３０次， ∴为奇数的概率的前n项和为Sn，定义Tn=，我们称Tn为数列的“理想数”. 已知数列a1，a2，…，a668的“理想数”为，则数列2，a1，a2，…，a668的“理想数”为（ ）　　 　(A) (B) (C) (D) 解：答案：A．由已知，．记数列2，a1，a2，…，a668的前n项和为Rn，则，，，…，， ∴数列2，a1，a2，…，a668的“理想数”为． 二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7. 已知数列满足，， ()， 是数列的前n项和，则的值是 ． 解：答案：８．数列的各项依次为２，５，３，－２，－５，－３，２，５，…，呈周期性变化，周期为６，因为，∴＝８． 8. 抛物线的焦点坐标是 ． 解：答案：．原方程为，令，则，其焦点坐标为，∴抛物线的焦点坐标是． 9. 如图，正四面体的棱长为，在棱、上各有一点、，若，则线段的长为 ．解：答案：．取ＡＤ上一点Ｇ，使ＡＧ＝3ｃｍ， 则∥ＢＤ，ＧＦ∥ＡＣ，因为ＡＣ⊥ＢＤ，∴ＥＧ⊥ＧＦ，又因为ＥＧ＝3，ＧＦ＝5，∴ＥＦ＝． 10. 从至数中任意取出个数构成以整数为公比的等比数列取法有种=1，2，…，50，共50种； 当q=3时，=1，2，…，22，共22种；当q=4时，=1，2，…，12，共12种； 当q=5时，=1，2，…，8，共8种；……；当q=14时，=1，共1种． ∴取法共有 11. 设为常数，函数 为一次函数，若＝，＝1，且关于x的方程＝的根是x1=1，x2=3，x3=-2，则的值为 ． 解：答案：-5．由＝，＝1求得a=2，b=2，又因为方程＝的根是x1=1，x2=3，x3=-2，∴直线与抛物线交于（1，1）和（3，5）两点，故=， ∴另一交点为（-2，-5），∴c=-5． 12. 已知整数，且，则，括号内为奇数， 又１３１４＝，∴且；由于，可得且，∴；同理可得．∴＝２４． 三、解答题（共4小题，满分48分） 13. （本题满分10分） 求函数 的最大值和最小值． 解：∵，令， 若即，则， ……………3分 当时，；当时，． ……………………5分 若即，则， ………………7分 当时，；当时，． ……………………9分 综上，函数 的最大值为２，最小值为． ……10分 14. （本题满分12分） 记集合，是中可重复选取的元素． （1）若将集合中所有元素按从小到大的顺序排列，求第个数所对应的的值； （2）若将集合中所有元素按从大到小的顺序排列，求第个数所对应的的值． 解：（1）记=，它表示一个８进制数；……2分 Ｍ中最小值为，第个数在十进制数中为２００７， ………………4分 将化为８进制数即为，所以． ………6分 （２）因为， 括号内表示的8进制数，其最大值为； ………………8分 ∵ ＝，从大到小排列，第２００８个数为 ４０９５－２００８＋１＝２０８８