北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之压轴创新题word含解析.docx

【西城一模】20．（本小题满分13分）数列：满足：．记的前项和为，并规定．定义集合，，．（Ⅰ）对数列：，，，，，求集合；（Ⅱ）若集合，，证明：；（Ⅲ）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，，，，，，[2分]所以．[3分]（Ⅱ）由集合的定义知，且是使得成立的最小的k，所以.[5分]又因为 ，所以[6分]所以．[8分]（Ⅲ）因为，所以非空．设集合，不妨设，则由（Ⅱ）可知，同理，且．所以．因为，所以的元素个数．[11分]取常数数列：，并令，则，适合题意，且，其元素个数恰为．综上，的元素个数的最小值为．[13分]【朝阳一模】20． (本小题满分13分)已知集合是集合的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值；（Ⅱ）证明：对任意一个，存在正整数，使得方程至少有三组不同的解．解：（Ⅰ）（ⅰ）方程的解有：．……2分（ii）以下规定两数的差均为正，则：列出集合的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分（Ⅱ）证明：不妨设，记，，共13个差数．假设不存在满足条件的，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而. …………①又，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分【丰台一模】（20）（本小题共13分）已知无穷数列的前项和为，记，，…，中奇数的个数为．（Ⅰ）若，请写出数列的前5项；（Ⅱ）求证：“为奇数，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若，，求数列的通项公式．（20）（本小题共13分）（Ⅰ）解：，，，，．……………………3分（Ⅱ）证明：（充分性）因为为奇数，为偶数，所以，对于任意，都为奇数．……………………4分所以．……………………5分所以数列是单调递增数列．……………………6分（不必要性）当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时，为偶数，均为奇数，所以，数列是单调递增数列．……………………7分所以“为奇数，为偶数”不是“数列是单调递增数列”的必要条件；……………………8分综上所述，“为奇数，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件．（Ⅲ）解：（1）当为奇数时，如果为偶数，若为奇数，则为奇数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为偶数，所以为奇数，与矛盾．所以当为奇数时，不能为偶数．……………………9分（2）当为偶数时，如果为奇数，若为奇数，则为偶数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为奇数，所以为奇数，与矛盾．所以当为偶数时，不能为奇数．……………………10分综上可得与同奇偶．所以为偶数．因为为偶数，所以为偶数．…………………11分因为为偶数，且，所以．因为，且，所以．………………12分以此类推，可得．……………………13分【海淀一模】( 20)（本小题13分） 设是由组成的行列的数表（每个数恰好出现一次），且． 若存在，，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表为一个“数表”为数表的一个“值”， 对任意给定的，所有“数表”构成的集合记作．判断下列数表是否是“数表”．若是，写出它的一个“值”；， (Ⅱ)求证：若数表是“数表”，则的“值”是唯一的；(Ⅲ)在中随机选取一个数表，记的“值”为，求的数学期望．20.（本题满分13分）（Ⅰ）是“数表 ”，其“值”为3，不是“数表”.3分（Ⅱ）假设和均是数表的“值”，①若，则；②若，则；③若，，则一方面，另一方面；矛盾. 即若数表是“数表”，则其“值”是唯一的.8分（Ⅲ）方法1：对任意的由，，，…，组成的行列的数表.定义数表如下，将数表的第行，第列的元素写在数表的第行，第列，即（其中，）显然有：①数表是由，，，…，组成的行列的数表②数表的第行的元素，即为数表的第列的元素③数表的第列的元素，即为数表的第行的元素④若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值则数表中，是第列中的最大值，也是第行中的最小值.定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为362，即（其中，）显然有①数表是由，，，…，组成的行列的数表②若数表中，是第列中的最大值，也是第列中的最小值则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值特别地，对由，，，…，组成的行列的数表①数表是由，