中考数学小压轴汇编初讲：第1讲 全等三角形.doc.doc

第1讲 全等三角形 一、本讲概述 三角形全等是三角形之间最基本的关系。利用其性质与判定，我们可以研究复杂图形中的边角联系。 中考数学小压轴中，全等题型可大概分为全等寻找和全等构造两大类。全等寻找就是在复杂的图形中迅速准确地找出我们需要研究的全等三角形，往往与折叠问题联系在一起。全等构造就是根据已知条件构造全等三角形。 说到构造，难度就上升了，因为很多时候我们找不着方向。不过仔细研究，还是可以从题目特征找到突破口。往往与等腰三角形、正方形、旋转问题联系紧密。 二、典例分析 例1、（2016贵州铜仁10题）如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接。下列结论： ①≌ ② ③ ④ ⑤ 其中正确结论的个数是（ ） 个 个 个 个 【关键词】全等寻找 【分析】折叠中隐藏着不少全等三角形，需仔细识别、寻找。 ≌ ∵与中 ∴≌ 所以，①正确。 ② ∵， ∴ 设，则 中， 解之得，则。 所以，②正确。 ③ 由①、②可得③正确。 ④ 易知四边形中，角度转化可得 ∵≌ ∴ ∵中 ∴ ∵中， ∴ ∴ 所以，④正确。 ⑤ ∵（已证） ∴ ∴,解之得 所以，⑤正确。 综上，选。 例2、（2014新疆维吾尔自治区9题）如图1，四边形中，为上一点，分别以为折痕将两个角（）向内折起，点恰好落在边的点处，若，则的值是（ ） 图1 【关键词】全等寻找、勾股定理 【分析】特征1：折叠。 造成两组三角形全等：≌、≌。说明诸多的边可转化，诸多的角也可以转化。 特征2：点恰好落在边的点处。 说明点为中点，，且。 特征3：，欲求的值。 说明直角梯形中，上下两底长度已知，腰可求，需求高。所以，产生了构造，利用勾股定理解决问题的总体思路。 图2 图3 第一种想法：如图2，过作于。 中，，解之得，则 。 第二种想法：如图3，过作交于。 易知为梯形中位线，则，。 中，，解之得。所以，选。 【点评】本题全等的价值在于灵活转化诸多边与角。 例3、（2016哈尔滨20题）如图，在菱形中，，点分别在边上，与关于直线对称，点的对称点是点，且点在边上。若，则的长为。 【关键词】全等寻找 【分析】特征1：点的对称点是点。 说明≌,。 特征2：在菱形中，，。 易求； 中，； 。 也就是说，是菱形边上的高。 特征3：。 而也是等边边上的高。易求等边边上的高为。 所以，。 例4、（2016贵州遵义17题）如图1，是上一点，连接，与的平分线交于点，连接。若，，则。 图1 【关键词】全等寻找、平行比例 【分析】特征1：为的平分线。 说明≌。诸多边角甚至面积可据此转化。 特征2：，。 面积转化，可得，。 特征3：欲求的长。 也就是需求的长。因集中了大部分条件，所以主战场就选在中。，角平分线再一分，产生。又有面积，自然想到作高，利用面积建立方程。 图2 如图2，过作于。由。 不妨设，则。现在摆在眼前的问题是建立关于的方程，最棘手的是如何找出与的关系？ 由 由 由 所以，。 【点评】本题全等利于边角及面积的灵活转化。 例5、（2014武汉16题）如图1，在四边形中，，则的长为。 图1 【关键词】全等构造、勾股定理、相似 【分析】特征1：。会不会蕴含“勾3股4弦5”？很遗憾，没有明显征兆。会不会构造后出现呢？现在还判断不了。 特征2：。中，第三边可求，剩下两个内角理论上可表示，只是不是特殊角而已。 综合起来，四边形中，四边均可求，四内角理论上可求，对角线也可求。前途似乎一片光明，但就是不好求。 第一种想法：构造，利用勾股定理。如图2，过作于。 中，。只要求出，问题就能解决。因，且理论可求，所以理论也