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2018吉林中考数学总复习动点问题 因动点产生的等腰三角形问题练习 年 班 姓名 成绩： 1.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求ED、EC的长； （2）若BP＝2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． 图1 备用图 解：（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以，． （2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是 △ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN． 所以．所以，． 图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时．所以． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5． 此时．所以． （3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，． 在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝C． ．所以． ②如图6，当QC＝QD时，由，可得． 所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）． 此时．所以． ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6 图5 图6 2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由，BO＝CO，得PH＝BH＝2)、(1,)或(1,0)． 3.如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 解：（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C． 在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，． 所以点B的坐标为． （2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B，．解得． 所以抛物线的解析式为． （3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)． ①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得． 当P在时，B、O、P三点共线（如图2）． ②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得． ③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得． 综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示． 图2 图3 4.如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B． （1）求点A和点B的坐标； y轴于点C，过点B作直线l//y轴．点P以每秒1个单位的速度沿OC—A的路线向点A运动同时线AO于点Q．当点到达点停止运动．以、、为顶点的三角形三角形 得 所以点A的坐标是(3，4)． 令，得．所以点B的坐标是(7，0)． （2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6． 因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8． 图2 图3 图4 ②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4． 如图1，在△AOB中，，所以OB＞AB．因此