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利用函数的性态讨论方程根的个数 业!Q:! ScienceendTechnologyInnovationHerald 利用函数的性态讨论方程根的个数 梁义魏可嘉z (1华北电力大学科技学院河北保定O71051 2河北大学数计学院河北保定071002) 摘要:利用函数的性态讨论方程根的存在性,及对根的个数进行研究和归纳. 关键词:方程根 中图分类号:01文献标识码:A文章编号:1674—098X(2009)05(b)一0170—01 在数学有关方程根的研究中,根据连 续性函数的介值定理【(零点定理…o)和 微分中值定理…可讨论方程实根存在性 的问题.这里通过分析具体函数的性态,利 用下述命题,讨论该函数的零点个数问题, 即相应方程实根的个数问题. 利用函数性态讨论方程根的个数问 题,常用到下述几个命题: 命题1若连续函数的单调区间为开 区间或无穷区间,且在该区间的左端点的 右极限与右端点的左极限异号(包括极限 为一m,+m),则在该区间内)有且仅有 一 个零点,或方程)=0有且仅有一个实 根.若不异号,则没有实根. 例l证明方程+一1:0只有一个正 根 证明:先证)=+—l:0至少有 一 个正根.由正根可知,根所在区间应为 【o,b】.如何确定b,因40)=-1lt;0,故所求的 b应有gt;0.因为 liraf(x)=Iim(+一1)=+∞,故在 (0,+oo)上总存在一点6,使b)gt;0,因而在 区间的端点处函数值异号.又因 厂(x)=5+1gt;0,x∈(0,b),故在(0,6) 单调增加,由命题l知,)=0在[0,b】上只 有一个正根,即在(0,+oo)内只有一个正 根. 例2求证方程+P+qCOSX=0恰有一 个实根,其中p,q为常数,且0lt;qlt;1. 证:令,(X)=+p+qxosx,则在,且 厂()=1一singt;0,即f(x)在(一oo,+oo) 内单调增加.由命题1知,所给方程有且仅 有一个实根. 注意:证实系数方程根的唯一性常转 化为证明函数的单调性. 命题2连续函数4x)的单调区间为闭区 间[a,b】,若在两端点处函数值异号,则函 数在该区间内有且仅有一个零点;若有一 端点为函数零点,4该区间内没有且另一 端点也不是该函数的零点;若在两端点处 函数值同号,则函数在该区间上无零点 例3设f(x)在[a,+一)内二阶可导,且(1) f(a)gt;0,(2)厂(a)lt;0,(3)xgt;a时,f(a)lt;0; 试证在(a,+oo)内方程f(x)=O有且仅有一个 实根. 证:因xgt;a时,f(lt;0,故xgt;aN,f (单调减少,因而/f)lt;/(口)lt;0.于是当 x≥a时,)单调减少,今又已知f(a)gt;0,如 能找Nb使f(b)lt;0,由命题2Hp知,在(a,b)内 方程f(x)=0仅有一个实根.又x≥b时,f(x)lt; b)lt;0,因而在(a,+)内方程f(x):0仅有 一 个实根. 如何找到6,使g(n)lt;O呢?可用拉格朗 日定理…找之.由该定理知,对任何xgt;a, 存在三∈(a,)使 f(x)-f(日)=.厂(亏)(—a)lt;f(aXx一口) Elpf(x)lt;厂()+厂()(—a) 因f(日)lt;0,故当x充分大时,可使 . 厂(aXx～a)lt;一,(口),因而有)lt;o.于是 存在6gt;a,使lt;0. 注意:为利用命题2证明方程仅有一个 实根,若已知一函数值a)gt;0(或lt;0), 单调,常用拉格朗日中值定理…l27找另一 点b,使)lt;0(或gt;0). 命题3设g(c)在【a,b】上连续(a,b可为有 限数,也可为无穷),且 tim一 /()gt;o,tim--- ~a+O一. /()gt;O(或x—O—U. . /()lt;O,fim一 . ()lt;0),又,— Ⅱ+IJ—}6一U (在【a,b】上的最小值为脚(或最大值为, 且仅c∈(a,6)在处达到,柚在(a,c)内单调 减少(或增加),在(c,6)内单调增加(或减 少),则: (1)当gt;O(或lt;O)时,在,上与 胤没有交点,故)没有零点,即=0没 有实根, (2)当m=O时(或M=O)时,在【a,上柚 与x轴只有一个交点,故f(x)只有一个零点, 即=O只有一个实根; (3)当脚lt;0(或gt;0)时,在,剀上与 x轴有且只有两个交点,故)有且仅有两 个零点,即:0有且只有两个实根l59. 例4讨论函数=Inx～(agt;0)的零 点个数? 解:)的定义域为(o,+..),而 lim厂()=lira(Inx—ax)=一oo —}+【】x-+如 】jl11/()=Jim(In—ax)= lira(Inx—InP1= Ⅷ rr hrnh1(—二一)=inlim(—二一) _